Μπορεί ένας επαναλαμβανόμενος αριθμός να είναι ποτέ τέλειο τετράγωνο;

Συχνά, οι αριθμοί που μας φαίνονται απλοί κρύβουν περίπλοκες μαθηματικές ιδιότητες. Ένα ενδιαφέρον ερώτημα είναι το εξής:

• Μπορεί ένας αριθμός που αποτελείται από μια επαναλαμβανόμενη ακολουθία ψηφίων, όπως 234234 ή 32453245, να είναι ποτέ το τετράγωνο ενός άλλου ακέραιου αριθμού;

Τι είναι ένας επαναλαμβανόμενος αριθμός;

Ένας επαναλαμβανόμενος αριθμός είναι ένας ακέραιος που μπορεί να γραφτεί ως δύο ίδιες ακολουθίες ψηφίων, π.χ.:

$$234234=234234$$

Αν το πρώτο κομμάτι είναι το $k$, με $n$ ψηφία, τότε ο αριθμός γράφεται μαθηματικά ως:

$$N=k\cdot {10}^n+k=k\cdot ({10}^n+1)\mathrm{.}$$

---

Πότε ένας αριθμός είναι τέλειο τετράγωνο;

Για να είναι ο $N$ τέλειο τετράγωνο, θα πρέπει:

$$N=k\cdot ({10}^n+1)=m^2,$$

για κάποιον ακέραιο $m$.

Αυτό σημαίνει ότι το $k$ θα πρέπει να είναι παράγοντας ενός τέλειου τετραγώνου. Ωστόσο, το $10^n + 1$

σπάνια είναι τέλειο τετράγωνο, και οι παράγοντές του δεν έχουν την κατάλληλη μορφή για να ικανοποιήσουν τη σχέση. Αυτό οδηγεί σε έναν ισχυρισμό που θα αποδείξουμε παρακάτω: κανένας επαναλαμβανόμενος αριθμός δεν είναι τέλειο τετράγωνο.

---

Μια μαθηματική προσέγγιση

Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει κάποιος επαναλαμβανόμενος αριθμός $N = k(10^n + 1)$ που είναι τετράγωνο.
Για να είναι αυτό δυνατό, το $10^n + 1$ θα έπρεπε να έχει τέλειους τετραγωνικούς παράγοντες.
Ωστόσο, είναι γνωστό από τη θεωρία αριθμών ότι οι αριθμοί της μορφής $10^n + 1$ δεν είναι τετράγωνα για $n > 0$, αφού:

$$({10}^{n\mathrm{/}2}{)}^2<{10}^n+1<({10}^{n\mathrm{/}2}+1{)}^2\mathrm{.}$$

Άρα, δεν μπορούμε να έχουμε τέλεια τετραγωνική δομή.

---

Μαθηματικό συμπέρασμα

Δεν υπάρχει κανένας αριθμός όπως 234234 ή 123123 που να είναι τετράγωνο κάποιου άλλου αριθμού.

Αυτό το πρόβλημα αποτελεί ένα απλό αλλά όμορφο παράδειγμα του πώς μια φαινομενικά απλή ερώτηση μπορεί να οδηγήσει σε κομψές μαθηματικές αποδείξεις.