Τι συνδέει τους αριθμούς 48, 168, 3480 και 10608;

🤔 Τι κοινό έχουν οι αριθμοί 48, 168, 3480 και 10608;

Όλοι διαιρούνται με το 24 — μπορείτε να το επαληθεύσετε εύκολα.

Αλλά υπάρχει κάτι πιο βαθύ:

✅ Όλοι μπορούν να γραφούν με τη μορφή p² − 1, όπου p είναι πρώτος αριθμός μεγαλύτερος του 3.

Δείτε:

• $7^2−1=49−1=48$

• ${13}^2-1=169-1=168$

• ${59}^2-1=3481-1=3480$

• ${103}^2-1=10609-1=10608$

Και τότε προκύπτει η μαγική πρόταση:

Για κάθε πρώτο αριθμό p > 3, ο αριθμός $p^2 - 1$ διαιρείται με το 24!

🎯 Αλλά γιατί; Τι ιδιαίτερο έχει ο αριθμός 24 που "καταπίνει" κάθε τέτοιο p²−1;

---

✏️ Ας το αποδείξουμε!

Θέλουμε να δείξουμε ότι:

Για κάθε πρώτο αριθμό $p > 3$, ισχύει:

$$p^2 - 1 \equiv 0 \mod 24$$

---

🔍 Παρατήρηση 1: Η διαφορά τετραγώνων

$$p^2 - 1 = (p - 1)(p + 1)$$

Άρα, αρκεί να δείξουμε ότι το γινόμενο (p−1)(p+1) είναι πολλαπλάσιο του 24.

---

🔍 Παρατήρηση 2: Πρώτος αριθμός p > 3 → περιττός

Γιατί όλοι οι πρώτοι >3 είναι περιττοί (εκτός από 2), άρα:

• $p \equiv 1 \mod 2$

• Επομένως: $p-1$ και $p+1$ είναι άρτιοι ⇒ το γινόμενό τους είναι πολλαπλάσιο του 4

Και μάλιστα:

• Τα δύο άρτια διαδοχικά άρτια διαφέρουν κατά 2 ⇒ ένα από αυτά είναι πολλαπλάσιο του 4.

• Άρα, $(p-1)(p+1)$ είναι πολλαπλάσιο του 8

✅ Έχουμε:

$$(p-1)(p+1) \equiv 0 \mod 8$$

---

🔍 Παρατήρηση 3: Τι γίνεται με το 3;

Κάθε πρώτος p ≠ 3 είναι ή της μορφής:

• $p \equiv 1 \mod 3$, ή

• $p \equiv 2 \mod 3$

Ας δούμε και τις δύο περιπτώσεις:

1. Αν $p \equiv 1 \mod 3$, τότε:

$$p - 1 \equiv 0 \mod 3$$

2. Αν $p \equiv 2 \mod 3$, τότε:

$$p + 1 \equiv 0 \mod 3$$

Άρα είτε το p−1 είτε το p+1 είναι πολλαπλάσιο του 3 ⇒ το γινόμενο διαιρείται με 3

✅ Άρα:

$$(p-1)(p+1) \equiv 0 \mod 3$$

---

🔚 Συνδυασμός:

Έχουμε:

• $(p-1)(p+1) \equiv 0 \mod 8$

• $(p-1)(p+1) \equiv 0 \mod 3$

Επομένως:

$$(p-1)(p+1) \equiv 0 \mod \text{lcm}(8, 3) = 24$$

Και έτσι ολοκληρώνεται η απόδειξη!

---

💡 Συμπέρασμα

Για κάθε πρώτο αριθμό p > 3, ο αριθμός:

$$p^2 - 1 = (p-1)(p+1)$$

είναι πολλαπλάσιο του 24!