Πολύγωνα, Άπειρο και Φιλοσοφία: Το Παράδοξο των Χορδών (Benardete’s String Paradox)

Το Παράδοξο των Χορδών του Benardete – Από το Πολύγωνο στον Κύκλο

«Στο τέλος του λεπτού, τι θα απομείνει; Ένας κύκλος ή μια ιδέα;»

Φανταστείτε πως κρατάτε ένα κομμάτι σπάγκου. Ξεκινάτε να σχηματίζετε με αυτό κανονικά πολύγωνα, το ένα μετά το άλλο:

• Στο πρώτο μισό του λεπτού σχηματίζεις ένα ισόπλευρο τρίγωνο.

• Στο επόμενο τέταρτο του λεπτού, ένα τετράγωνο.

• Στο επόμενο όγδοο του λεπτού, ένα κανονικό πεντάγωνο.

• Και συνεχίζεις: εξάγωνο, επτάγωνο, οκτάγωνο, ... μέχρι το άπειρο.

Ο χρόνος κυλάει: κάθε νέο πολύγωνο απαιτεί το μισό χρόνο από το προηγούμενο. Στο τέλος του ενός λεπτού, έχεις σχηματίσει άπειρα κανονικά πολύγωνα με το ίδιο κομμάτι σπάγκου.

❓ Ποιο σχήμα θα έχει ο σπάγκος στο τέλος;

Η προφανής απάντηση είναι: κύκλος. Τα κανονικά πολύγωνα, καθώς αυξάνεται ο αριθμός των πλευρών τους, τείνουν σε κυκλικό σχήμα.

Αλλά εδώ αναδύεται ένα φιλοσοφικό παράδοξο:

Κάθε σχήμα που σχηματίστηκε ήταν πολύγωνο, δηλαδή σχήμα με πεπερασμένο αριθμό πλευρών. Ποτέ δεν κατασκευάστηκε κάτι μη-πολυγωνικό.

Και όμως, στο όριο, το τελικό σχήμα δεν είναι πολύγωνο, αλλά κύκλος – μια εντελώς διαφορετική γεωμετρική οντότητα.

---

🌀 Το Χάσμα Μεταξύ Πεπερασμένου και Άπειρου

Ο φιλόσοφος Χοσέ Αμάδο Μπεναρντέτε παρουσίασε αυτό το σενάριο στο έργο του Infinity: An Essay in Metaphysics (1964), για να φωτίσει τη βαθιά ένταση ανάμεσα σε διακριτά βήματα και συνεχή όρια.

Μπορεί μια ακολουθία πεπερασμένων ενεργειών να δημιουργήσει κάτι ουσιαστικά διαφορετικό στο τέλος;

Ή μήπως ο κύκλος ποτέ δεν σχηματίστηκε, παρά μόνο υπονοήθηκε;