Μερικά Αθροίσματα & Ολοκλήρωμα Ρίμαν — Εισαγωγή στη Μαθηματική Ανάλυση

Ακολουθία και Μερικά Αθροίσματα

• Έστω ότι έχεις μια ακολουθία αριθμών, δηλαδή μια σειρά αριθμών γραμμένη ως $\{a_n\}$, όπου το $a_1$ είναι ο πρώτος όρος, το $a_2$ ο δεύτερος, κ.ο.κ.

  

• Το μερικό άθροισμα $s_n$ είναι το άθροισμα των πρώτων $n$ όρων της ακολουθίας:

$$s_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n = \sum_{k=1}^n a_k$$

• Δηλαδή, αν έχεις π.χ. την ακολουθία $\{2,4,6,8,\dots \}$, τότε το πρώτο μερικό άθροισμα είναι $s_1 = 2$, το δεύτερο $s_2 = 2+4=6$, το τρίτο $s_3 = 2+4+6=12$, κ.ο.κ.

---

Σχέση με τη Σειρά

• Όταν κοιτάμε τα μερικά αθροίσματα και προσπαθούμε να καταλάβουμε αν η σειρά $\sum a_n$ συγκλίνει (δηλαδή αν το άθροισμα όλων των όρων πλησιάζει σε έναν συγκεκριμένο αριθμό), εξετάζουμε το όριο των μερικών αθροισμάτων $s_n$ όταν το $n$ τείνει στο άπειρο.

• Αν το όριο $\lim_{n \to \infty} s_n$ υπάρχει και είναι πεπερασμένο, τότε λέμε ότι η σειρά συγκλίνει σε αυτό το όριο.

---

Σχέση με το Ολοκλήρωμα του Ρίμαν

• Το ολοκλήρωμα μιας συνάρτησης μπορεί να οριστεί ως το όριο ενός αθροίσματος, που μοιάζει πολύ με τα μερικά αθροίσματα.

• Συγκεκριμένα, η μέθοδος ολοκλήρωσης του Ρίμαν χωρίζει την περιοχή κάτω από την καμπύλη σε μικρά διαστήματα, υπολογίζει το άθροισμα των ορθογωνίων που σχηματίζονται (όπως τα μερικά αθροίσματα) και μετά παίρνει το όριο αυτών των αθροισμάτων καθώς τα διαστήματα γίνονται όλο και μικρότερα.