Η Υπόθεση Ρίμαν και τα Μηδενικά της Συνάρτησης Ζήτα — Μια Κατανοητή Εισαγωγή

Τι είναι η συνάρτηση ζήτα του Riemann;

Η συνάρτηση ζήτα του Riemann, $\zeta(s)$, ορίζεται αρχικά ως το άθροισμα:

$$\zeta(s) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s}$$για όλους τους μιγαδικούς αριθμούς $s$ που έχουν πραγματικό μέρος μεγαλύτερο του 1 (δηλαδή $\text{Re}(s) > 1$).

Παράδειγμα:
Για $s=2$, η συνάρτηση είναι

$$\zeta(2) = 1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{6}$$Ο Riemann όμως κατάφερε να «επεκτείνει» τη συνάρτηση αυτή σε όλο το μιγαδικό επίπεδο, εκτός από το σημείο $s=1$, όπου υπάρχει μια απειρία.

---

Τι είναι τα μηδενικά της συνάρτησης ζήτα;

Η συνάρτηση ζήτα παίρνει την τιμή 0 σε ορισμένα σημεία που λέγονται μηδενικά. Τα μηδενικά χωρίζονται σε δύο κατηγορίες:

• Τετριμμένα μηδενικά: Βρίσκονται σε σημεία $s=-2,-4,-6,\dots$, δηλαδή σε αρνητικούς άρτιους αριθμούς. Αυτά είναι γνωστά και δεν μας απασχολούν ιδιαίτερα.

• Μη τετριμμένα μηδενικά: Είναι όλα τα υπόλοιπα σημεία όπου $\zeta(s) = 0$, αλλά που δεν είναι τετριμμένα. Αυτά είναι που προκαλούν το ενδιαφέρον των μαθηματικών.

---

Η περίφημη Υπόθεση Ρίμαν

Η Υπόθεση Ρίμαν λέει ότι:

Όλα τα μη τετριμμένα μηδενικά της συνάρτησης ζήτα βρίσκονται στην ευθεία του μιγαδικού επιπέδου με πραγματικό μέρος $\frac{1}{2}$.

Δηλαδή, αν $\zeta(s) = 0$ και $s$ δεν είναι τετριμμένο μηδενικό, τότε:

$$s = \frac{1}{2} + it$$όπου $t$ είναι ένας πραγματικός αριθμός.

Αυτή η ευθεία λέγεται κρίσιμη γραμμή (critical line).

---

Γιατί είναι σημαντικό αυτό;

Η θέση των μη τετριμμένων μηδενικών της $\zeta(s)$ συνδέεται άμεσα με το πώς κατανέμονται οι πρώτοι αριθμοί — δηλαδή, οι αριθμοί που διαιρούνται μόνο από τον εαυτό τους και το 1 (π.χ. 2, 3, 5, 7, 11, 13, κλπ).

Αν η Υπόθεση Ρίμαν ισχύει, μπορούμε να προβλέψουμε με μεγάλη ακρίβεια τον αριθμό των πρώτων αριθμών κάτω από έναν μεγάλο αριθμό $x$. Αυτό είναι ένα από τα πιο βαθιά και σημαντικά ζητήματα στη θεωρία αριθμών.

---

Ενδεικτική σχέση:

Η Υπόθεση Ρίμαν ισχυρίζεται ότι:

$$\zeta\left(\frac{1}{2} + it\right) = 0$$

για όλα τα μη τετριμμένα μηδενικά.

---

Συνοψίζοντας

• Η συνάρτηση ζήτα εκτείνεται σε μιγαδικούς αριθμούς.

• Τα μηδενικά της συνάρτησης ζήτα χωρίζονται σε τετριμμένα και μη τετριμμένα.

• Η Υπόθεση Ρίμαν αφορά τα μη τετριμμένα μηδενικά.

• Λέει ότι όλα αυτά βρίσκονται στην κρίσιμη γραμμή $\text{Re}(s) = 1/2$.

• Αυτό έχει τεράστια σημασία για την κατανομή των πρώτων αριθμών.