Τι κοινό έχουν η Αρμονική Πρόοδος και η Πειθαρχία στην Οξφόρδη; Μια ευφυής παρατήρηση του Lewis Carroll

Ο Charles Dodgson, περισσότερο γνωστός ως Lewis Carroll, δεν ήταν μόνο ο συγγραφέας της Αλίκης στη Χώρα των Θαυμάτων, αλλά και καθηγητής Μαθηματικών στην Οξφόρδη. Με το χαρακτηριστικό του χιούμορ, συνήθιζε να εξηγεί έννοιες όπως η Αρμονική Πρόοδος με απροσδόκητα —και ιδιαίτερα έξυπνα— παραδείγματα.

Μια αρμονική πρόοδος είναι μια αριθμητική ακολουθία που σχηματίζεται από τα αντίστροφα μιας αριθμητικής προόδου. Για παράδειγμα:

1, 12, 13, 14, ……

Ο Carroll είχε ένα ιδιαίτερο παράδειγμα για να το εξηγήσει αυτό στους φοιτητές του στο Christ Church της Οξφόρδης:

Ήταν κανόνας, έλεγε, ότι εάν ένας προπτυχιακός φοιτητής απουσιάσει για μια νύχτα χωρίς άδεια, στην πρώτη παράβαση τιμωρείται με αποκλεισμό από το κολλέγιο για μία περίοδο. Στη δεύτερη, για δύο περιόδους. Στην τρίτη όμως... η Christ Church δεν τον γνωρίζει πια. Δηλαδή αποβάλλεται οριστικά.

Αυτή την τελευταία μοίρα ο Carroll τη χαρακτήριζε... «άπειρη».

Έτσι, οι τρεις βαθμοί τιμωρίας ήταν 1, 2, ∞. Αν πάρουμε τα αντίστροφα αυτών, προκύπτουν:

$$1,\frac{1}{2},0$$

που είναι οι τρεις πρώτοι όροι μιας φθίνουσας αριθμητικής προόδου με διαφορά $-\dfrac{1}{2}$​. Ο Carroll, με τη χαρακτηριστική του ευρηματικότητα, απέδειξε ότι και η πειθαρχία μπορεί να γίνει... μαθηματική.