🎯 Συντελεστής σε Πολυώνυμο Προϊόν Δυνάμεων του 2

Έστω το πολυώνυμο:

$$P(x)=\prod _{k=0}^{10}(x^{2^k}+2^k)=(x+1)(x^2+2)(x^4+4)\cdots (x^{1024}+1024)$$

Ο συντελεστής του $x^{2012}$ στο ανάπτυγμα του $P(x)$ είναι ίσος με $2^a$.

Να βρείτε την τιμή του $a$.

$$\boxed{ \begin{array}{lllll} \textbf{(A)}\ 5 & \textbf{(B)}\ 6 & \textbf{(C)}\ 7 & \textbf{(D)}\ 10 & \textbf{(E)}\ 24 \end{array} }$$