Η Γεωμετρία των Εφαπτόμενων Κύκλων: Ένα Προβλήμα με Ισόπλευρο Τρίγωνο και Κύκλους ✅

 Έχουμε ισόπλευρο τρίγωνο △ABC εγγεγραμμένο σε κύκλο ω με ακτίνα:

$$R = 18.$$

Μέσα στο τρίγωνο, κατασκευάζουμε τρεις ίσους κύκλους $\omega_A, \omega_B, \omega_C$ που:

• είναι εφαπτόμενοι εσωτερικά στον περιγεγραμμένο κύκλο $\omega$,

• εφαπτόμενοι στα δύο πλευρικά τμήματα του τριγώνου,

• συμμετρικοί ως προς τις κορυφές $A,B,C$.

Στόχος:
Να βρούμε το μήκος πλευράς του μικρού πράσινου ισόπλευρου τριγώνου που σχηματίζεται από τα τρία κοντινότερα σημεία τομής των εσωτερικών κύκλων, ως έκφραση $\sqrt{a} - \sqrt{b}$ και να υπολογίσουμε το $a+b$.

2022 AIME I