Αναγνωρίζοντας Πολυώνυμα 3ου Βαθμού από τη Γραφική Παράσταση

Με βάση την εικόνα με τις τέσσερις γραφικές παραστάσεις (A, B, C, D), να βρείτε για καθεμία τη μορφή της πολυωνυμικής συνάρτησης 3ου βαθμού:

1. Εντοπίστε τις ρίζες και την πολλαπλότητά τους.
2. Γράψτε ένα πολυώνυμο της μορφής \[ f(x)=a\,(x-r_1)^{m_1}(x-r_2)^{m_2}(x-r_3)^{m_3}\!, \] με \(m_1+m_2+m_3=3\) και \(m_i\in\{1,2\}\) όπως υπαγορεύει η γραφική παράσταση.
3. Χρησιμοποιήστε το \(f(0)\) που δίνεται για κάθε καμπύλη, για να βρείτε τον συντελεστή \(a\).

Δεδομένα για κάθε καμπύλη

• A: Ρίζες: \(x=-3\) (απλή), \(x=-1\) (διπλή). \(f(0)=-6\).
• B: Ρίζες: \(x=-2\) (διπλή), \(x=3\) (απλή). \(f(0)=8\).
• C: Ρίζες: \(x=-4\) (απλή), \(x=0\) (απλή), \(x=2\) (απλή). \(f(1)=-9\).
• D: Ρίζες: \(x=-1\) (διπλή), \(x=4\) (απλή). \(f(2)=10\).

Λυμένο Παράδειγμα — Καμπύλη A

Ρίζες: \(x=-3\) (απλή), \(x=-1\) (διπλή). Άρα: \[ f_A(x) = a(x+3)(x+1)^2. \]

Χρησιμοποιούμε το \(f_A(0)=-6\): \[ -6 = a \cdot 3 \cdot 1^2 \quad\Rightarrow\quad a = -2. \]

Τελική εξίσωση για την A: \[ \boxed{f_A(x) = -2(x+3)(x+1)^2}. \]

Για τους Αναγνώστες — Βρείτε τις B, C, D

Επαναλάβετε τα ίδια βήματα για τις καμπύλες B, C και D. Δουλέψτε από τις δεδομένες ρίζες και στο τέλος βρείτε τον \(a\) από το αντίστοιχο γνωστό σημείο.