Η Κατανομή Beta — Μοντελοποίηση Πιθανοτήτων και Αναλογιών

Η κατανομή Beta είναι μια από τις πιο σημαντικές συνεχείς κατανομές πιθανοτήτων, ορισμένη στο διάστημα [0,1]. Είναι ιδιαίτερα χρήσιμη όταν θέλουμε να μοντελοποιήσουμε πιθανότητες ή αναλογίες, όπως για παράδειγμα:

• το ποσοστό επιτυχίας μιας καμπάνιας,

• την πιθανότητα αποτυχίας ενός προϊόντος,

• την εκτίμηση ποσοστών σε έρευνες.

---

Παράμετροι $\alpha$ και $\beta$

Η κατανομή καθορίζεται από δύο θετικές παραμέτρους σχήματος:

• $\alpha$ (άλφα)

• $\beta$ (βήτα)

Ανάλογα με τις τιμές τους, το σχήμα της κατανομής μπορεί να είναι:

• Ομοιόμορφη → όταν $\alpha = \beta = 1$,

• Καμπανοειδής → όταν $\alpha, \beta > 1$,

• Ασύμμετρη → όταν η μία παράμετρος είναι πολύ μεγαλύτερη από την άλλη,

• Επικεντρωμένη στα άκρα → όταν $\alpha < 1$ και $\beta < 1$.

---

Η συνάρτηση Γάμμα και η κατανομή Beta

Η συνάρτηση Γάμμα $\Gamma(z)$ είναι η γενίκευση του παραγοντικού για πραγματικούς και μιγαδικούς αριθμούς.
Ορίζεται ως:

$$\mathrm{\Gamma }(z)={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{t}^{z-1}{e}^{-t}dt$$

Για θετικούς ακέραιους $n$, ισχύει:

$$\mathrm{\Gamma }(n)=(n-1)!$$

Η συνάρτηση Beta $B(\alpha,\beta)$, που εμφανίζεται στον τύπο της κατανομής Beta, ορίζεται μέσω της Γάμμα:

$$B(\alpha ,\beta )=\frac{\mathrm{\Gamma }(\alpha )\mathrm{\Gamma }(\beta )}{\mathrm{\Gamma }(\alpha +\beta )}$$

Αυτός ο δεσμός είναι ο λόγος που η Beta έχει τόσο ευέλικτο σχήμα — η Γάμμα της προσδίδει αυτήν την προσαρμοστικότητα.

---

Συνάρτηση Πυκνότητας Πιθανότητας (PDF)

Η κατανομή Beta έχει την ακόλουθη PDF:

$$f(x;\alpha ,\beta )=\frac{x^{\alpha -1}(1-x{)}^{\beta -1}}{B(\alpha ,\beta )}$$

για $0 \le x \le 1$.

---

Ρόλος στη Βεϋζιανή Στατιστική

Η Beta χρησιμοποιείται συχνά ως prior distribution στη Μπεϋζιανή Στατιστική.

Μας επιτρέπει να ενσωματώσουμε προηγούμενη γνώση ή υποθέσεις σε προβλήματα όπου το ενδιαφέρον επικεντρώνεται σε πιθανότητες και αναλογίες.