Υπολογισμός Ορισμένου Ολοκληρώματος με Ασυνήθιστα Άκρα

Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα \[ \int_{\alpha}^{\beta} \cos\!\left(x - \frac{1}{x}\right)\, dx, \] όπου \[ \alpha = \frac{1}{6}\Big(\sqrt{36+\pi^2}-\pi\Big), \quad \beta = \frac{1}{6}\Big(\sqrt{36+\pi^2}+\pi\Big). \]