Ανισότητα Aczél και USA TST 2004

Ανισότητα Aczél
Αν ισχύει ότι

$$a_1^2 > a_2^2 + a_3^2 + \cdots + a_n^2$$ή ότι$$b_1^2 > b_2^2 + b_3^2 + \cdots + b_n^2,$$

τότε έχουμε:

$(a_1b_1−a_2b_2−⋯−a_nb_n)^2≥(a_1^2−a_2^2−⋯−a_n^2)(b_1^2−b_2^2−⋯−b_n^2).$

📜 Ιστορική αναφορά

Η ανισότητα φέρει το όνομα του Ούγγρου μαθηματικού János Aczél (1924–2020), ο οποίος διακρίθηκε για το έργο του στις συναρτησιακές εξισώσεις, τη θεωρία ανισοτήτων και την ανάλυση.

Η συγκεκριμένη ανισότητα δημοσιεύτηκε ως γενίκευση γνωστών ανισοτήτων τύπου Cauchy–Schwarz, καλύπτοντας περιπτώσεις όπου ένα από τα τετράγωνα των πρώτων όρων υπερβαίνει το άθροισμα των τετραγώνων των υπόλοιπων.
Αν και λιγότερο γνωστή από την Cauchy–Schwarz, χρησιμοποιείται σε προχωρημένα μαθηματικά προβλήματα και σε διαγωνισμούς Μαθηματικών.

Έστω πραγματικοί αριθμοί $a_1, a_2, \ldots, a_n$ και $b_1, b_2, \ldots, b_n$ τέτοιοι ώστε

$$\bigl(a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2-1\bigr)\bigl(b_1^2+b_2^2+\cdots+b_n^2-1\bigr) > \bigl(a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n-1\bigr)^2.$$

Να αποδείξετε ότι

$$a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2>1 \quad\text{και}\quad b_1^2+b_2^2+\cdots+b_n^2>1.$$

(USA TST 2004)