Ο Κανόνας των Προσήμων διατυπώθηκε από τον Ρενέ Ντεκάρτ στο έργο του La Géométrie και παρέχει έναν απλό αλλά ισχυρό τρόπο εκτίμησης του αριθμού των πραγματικών ριζών ενός πολυωνύμου.
Διατύπωση του Κανόνα
Αν έχουμε ένα πολυώνυμο με πραγματικούς συντελεστές της μορφής:
$$ f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0 $$
και οι συντελεστές παρατίθενται με φθίνουσα σειρά ως προς τις δυνάμεις του \( x \), τότε:
- Ο αριθμός των θετικών πραγματικών ριζών του \( f(x) \) είναι το πολύ ίσος με τον αριθμό των αλλαγών πρόσημου στους συντελεστές (αγνοώντας τους μηδενικούς όρους).
- Η διαφορά μεταξύ του αριθμού των αλλαγών πρόσημου και του αριθμού των θετικών ριζών είναι πάντα ζυγός αριθμός.
Για τον υπολογισμό των αρνητικών ριζών, εφαρμόζουμε τον κανόνα στο πολυώνυμο \( f(-x) \).
Παράδειγμα
Έστω το πολυώνυμο:
$$ f(x) = x^3 + x^2 - x - 1 $$
Η ακολουθία των προσήμων των συντελεστών είναι: \( (+, +, -, -) \), δηλαδή μία αλλαγή πρόσημου. Άρα:
- Το πολυώνυμο έχει μία θετική πραγματική ρίζα.
Για τις αρνητικές ρίζες, υπολογίζουμε:
$$ f(-x) = -x^3 + x^2 + x - 1 $$
Ακολουθία προσήμων: \( (-, +, +, -) \) → δύο αλλαγές πρόσημου. Άρα:
- Το πολυώνυμο έχει είτε δύο είτε μηδέν αρνητικές πραγματικές ρίζες.
Παραγοντοποίηση
$$ f(x) = (x + 1)^2 (x - 1) $$
Ρίζες: \( x = -1 \) (διπλή) και \( x = 1 \) (απλή).
Το \( f(-x) \) γίνεται:
$$ f(-x) = -(x - 1)^2 (x + 1) $$
Ρίζες: \( x = +1 \) (διπλή), \( x = -1 \) (απλή) — δηλαδή οι αντίθετες των αρχικών ριζών, όπως αναμενόταν.
Γενικεύσεις
Ο κανόνας μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την καταμέτρηση ριζών σε οποιοδήποτε διάστημα με τη βοήθεια γραμμικών μετασχηματισμών της μεταβλητής. Αυτό οδηγεί στα Θεωρήματα Budan και Budan-Fourier, τα οποία εφαρμόζονται σε αλγορίθμους απομόνωσης πραγματικών ριζών.
Συμπερασματικά
- Ο κανόνας των προσήμων δίνει έναν εύκολο τρόπο εκτίμησης του αριθμού των θετικών ή αρνητικών πραγματικών ριζών.
- Η εκτίμηση αυτή είναι πάντα άνω φράγμα του πλήθους των ριζών.
- Η διαφορά από το πραγματικό πλήθος είναι πάντα πολλαπλάσιο του 2.
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου