Μπορεί το άπειρο να είναι… μεγαλύτερο; Η ανακάλυψη του Κάντορ

Ο Georg Cantor επανάστατησε στα μαθηματικά, αποδεικνύοντας ότι το άπειρο δεν είναι μία ενιαία έννοια, αλλά έχει διαφορετικά «μεγέθη». Έδειξε ότι υπάρχουν ιεραρχίες απείρων∙ κάποια άπειρα είναι στην πραγματικότητα μεγαλύτερα από άλλα, παρόλο που και τα δύο είναι ατελείωτα.

Mια σύντομη παρουσίαση των ιδεών του:

1. Μετρήσιμο (ή αριθμήσιμο) άπειρο

   • Σύνολα όπως οι φυσικοί αριθμοί $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\}$ είναι άπειρα αλλά μετρήσιμα.

   • Ο Κάντορ όρισε ως μετρήσιμο άπειρο ένα σύνολο του οποίου τα στοιχεία μπορούν να μπουν σε αντιστοιχία ένα-προς-ένα με τους φυσικούς αριθμούς.

   • Άλλα σύνολα, όπως οι ακέραιοι $\mathbb{Z}$ και οι ρητοί αριθμοί $\mathbb{Q}$, είναι επίσης μετρήσιμα άπειρα.

2. Μη μετρήσιμο άπειρο

   • Ο Κάντορ προκάλεσε έκπληξη αποδεικνύοντας ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμών $\mathbb{R}$ είναι μη μετρήσιμα άπειρο.

   • Χρησιμοποίησε το περίφημο επιχείρημα της διαγωνιοποίησης, δείχνοντας ότι δεν υπάρχει τρόπος να καταγραφούν όλοι οι πραγματικοί αριθμοί σε μία ακολουθία∙ θα υπάρχει πάντα κάποιος που λείπει.

3. Ιεραρχία απείρων

   • Τα μετρήσιμα άπειρα έχουν ισχύ (πληθικό αριθμό) που συμβολίζεται με $\aleph_0$ (άλεφ-μηδέν).

   • Τα μη μετρήσιμα άπειρα, όπως οι πραγματικοί αριθμοί, έχουν μεγαλύτερη ισχύ, που συμβολίζεται με $\mathfrak{c}$ (πληθικότητα του συνεχούς).

   • Ο Κάντορ απέδειξε ότι για κάθε άπειρο σύνολο, το σύνολο των υποσυνόλων του (power set) έχει πάντα μεγαλύτερο άπειρο, δημιουργώντας έτσι μια ατελείωτη ιεραρχία απείρων.