Λογάριθμοι και Μουσική 🎶📐 – Όταν τα Μαθηματικά Δημιουργούν Αρμονία

Η μουσική και τα μαθηματικά μοιάζουν, εκ πρώτης όψεως, δύο εντελώς διαφορετικοί κόσμοι. Οι περισσότεροι μουσικοί απολαμβάνουν τη δημιουργία και την έκφραση, ενώ τα μαθηματικά τα θεωρούν συχνά “ψυχρή επιστήμη”.

Ωστόσο, η αρμονία που ακούμε στα μουσικά κομμάτια κρύβει πίσω της μαθηματικούς νόμους – και ένας από τους πιο σημαντικούς είναι οι λογάριθμοι.

---

Η Ανακάλυψη

Ο Ρώσος φυσικός A. Eichenwald περιγράφει ένα ενδιαφέρον περιστατικό:

Ένας φίλος του, λάτρης του πιάνου αλλά αντίπαλος των μαθηματικών, έπαιζε μουσική χωρίς να ξέρει ότι… χρησιμοποιούσε λογάριθμους! Στον μοντέρνο χρωματικό κλιμακωτό συντονισμό (tempered chromatic scale), οι νότες δεν κατανέμονται σε ίσες αποστάσεις αλλά σε λογαριθμικές αναλογίες.

---

Η Μουσική Κλίμακα και οι Λογάριθμοι

Στην κλίμακα του πιάνου, κάθε νότα έχει συγκεκριμένη συχνότητα – δηλαδή δονήσεις ανά δευτερόλεπτο.

• Ας πούμε ότι η χαμηλότερη νότα do έχει $n$ δονήσεις το δευτερόλεπτο.

• Η επόμενη do στην πρώτη οκτάβα έχει 2n δονήσεις.

• Στη δεύτερη οκτάβα, η ίδια νότα θα έχει $2^2n$ δονήσεις.

• Γενικά, στην $m$-οστή οκτάβα, η νότα θα έχει $2^m n$ δονήσεις.

Αυτό σημαίνει ότι κάθε φορά που ανεβαίνουμε μία οκτάβα, η συχνότητα διπλασιάζεται.

Όμως, το πιάνο δεν έχει μόνο νότες “do”. Κάθε οκτάβα χωρίζεται σε 12 ίσα βήματα: τις 12 ημιτονικές νότες. Για να επιτευχθεί αυτό, το διάστημα διπλασιασμού της συχνότητας χωρίζεται λογαριθμικά.

Η συχνότητα κάθε επόμενης νότας $f_k$ δίνεται από τον τύπο:

$$f_k = f_0 \cdot 2^{\frac{k}{12}}$$όπου:

• $f_0$ = συχνότητα της αρχικής νότας,

• $k$ = βήμα ημιτονίου.

---

Όταν το Πιάνο Μιλάει Μαθηματικά 🎹

Αν τρέξεις τα δάχτυλά σου στα πλήκτρα ενός πιάνου, χωρίς να το γνωρίζεις, παίζεις… λογάριθμους! Οι διαφορές ανάμεσα στις νότες αντιστοιχούν σε σταθερούς λόγους συχνοτήτων, και η βάση αυτών των λογαρίθμων είναι το 2.

Η μουσική είναι γεμάτη αρμονία και ρυθμό, και τα μαθηματικά είναι το αόρατο θεμέλιο που την κάνει να ακούγεται όμορφη.