Όταν ο εκθέτης «ταιριάζει» με τα ψηφία

Η εικόνα δείχνει ότι

$$9^{21}=\mathrm{109,418,989,131,512,359,209}$$

και τοποθετεί «21» πάνω από τον αριθμό επειδή έχει ακριβώς 21 ψηφία.

Γενικό γεγονός: ο αριθμός ψηφίων του $9^n$ είναι

$$d(n)=\lfloor n{\log }_{10}9\rfloor +1.$$

Θέλουμε $d(n)=n$. Αυτό ισοδυναμεί με

$$n-1\le n{\log }_{10}9<n⟺n(1-{\log }_{10}9)\le 1.$$

Επειδή $1-\log_{10}9=\log_{10}(10/9)\approx0.045757$, παίρνουμε

$$n\le \frac{1}{1-{\log }_{10}9}\approx \mathrm{21.85.}$$

Άρα οι (θετικοί ακέραιοι) $n$ με $d(n)=n$ είναι ακριβώς $1,2,\dots,21$. Το $n=\mathrm{21\; \epsilon ί\nu \alpha \iota \; \tau o\; \mu έ\gamma \iota \sigma \tau o,\; \kappa \alpha \iota \; \gamma \iota ’\; \alpha \upsilon \tau ό\; \tau o }$$9^{21}$ έχει 21 ψηφία—όπως τονίζει η εικόνα.