Η Τέχνη της Απλοποίησης: Από Σύνθετα Κλάσματα σε Απλό Αποτέλεσμα

 Να υπολογιστεί το άθροισμα

$$\frac{5+\sqrt{6}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{7+\sqrt{12}}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+\cdots +\frac{63+\sqrt{992}}{\sqrt{31}+\sqrt{32}},$$

δηλαδή, γενικά, το

$$\sum _{n=2}^{31}\frac{(2n+1)+\sqrt{n(n+1)}}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}\mathrm{.}$$