Οι Αγελάδες του Ναραγιάνα: Μια Συναρπαστική Μαθηματική Ακολουθία

Γνωρίζετε ότι τα μαθηματικά μπορούν να περιγράψουν ακόμα και… κοπάδια αγελάδων;

Η Ακολουθία των Αγελάδων του Ναραγιάνα είναι ένα κλασικό παράδειγμα, που προέρχεται από τον Ινδό μαθηματικό Narayana Pandita (14ος αιώνας).

🐄 Η Ιστορία

Φανταστείτε ένα κοπάδι όπου:

• Ξεκινάμε με μία αγελάδα.

• Κάθε αγελάδα αρχίζει να γεννά από το 3ο έτος της ηλικίας της.

• Κάθε χρονιά που γεννά, προσθέτει ένα νέο μοσχαράκι στο κοπάδι.

Ο Ναραγιάνα ρώτησε:
Πόσες αγελάδες θα έχω μετά από n χρόνια;

---

📘 Ορισμός της Ακολουθίας

Η ακολουθία ορίζεται ως εξής:

$$N_0=1,N_1=1,N_2=1$$

και για κάθε $n ≥ 3$:

$$N_n=N_{n-1}+N_{n-\mathrm{3}}$$

Δηλαδή, κάθε νέος όρος είναι το άθροισμα της προηγούμενης χρονιάς και της χρονιάς πριν τρία χρόνια.

🔢 Πρώτοι Όροι

n	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Nₙ	1	1	1	2	3	4	6	9	13	19

📈 Ιδιότητες

1. Η αναλογία των διαδοχικών όρων τείνει σε μια υπερ‑χρυσή αναλογία $≈ 1.46557$.

2. Η ακολουθία εμφανίζεται σε συνδυαστικά προβλήματα (combinatorics) και σε προβλήματα διάσπασης ακεραίων.

3. Ο μόνος Fermat αριθμός στην ακολουθία είναι το 3 (N₅).

4. Το 88 είναι η μόνη repdigit (όλοι οι ψηφια ίδιοι) της ακολουθίας.

---

🔗 Περισσότερα

📄 Διαβάστε περισσότερα στη Wikipedia: Ναραγιάνα Παντίτα