British Flag Theorem: Το Γεωμετρικό Μυστικό του Ορθογωνίου

Στην Ευκλείδεια γεωμετρία, αν έχουμε ένα ορθογώνιο ABCD και ένα σημείο P (που μπορεί να βρίσκεται μέσα, πάνω ή έξω από το ορθογώνιο), τότε ισχύει:

$$A{P}^2+C{P}^2=B{P}^2+D{P}^2$$

Δηλαδή, το άθροισμα των τετραγώνων των αποστάσεων του P από δύο απέναντι κορυφές του ορθογωνίου είναι ίσο με το αντίστοιχο άθροισμα για το άλλο ζεύγος απέναντι κορυφών.

---

🧮 Σκιαγράφηση Απόδειξης

Μια κλασική απόδειξη γίνεται αν φέρουμε κάθετες από το P προς τις πλευρές του ορθογωνίου, σχηματίζοντας ορθές γωνίες. Εφαρμόζοντας το Πυθαγόρειο Θεώρημα στα τρίγωνα που δημιουργούνται και χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες του ορθογωνίου, καταλήγουμε στην ισότητα.

---

🔄 Γενικεύσεις

• Σε ισοσκελή τραπέζια: Το θεώρημα ισχύει με έναν διορθωτικό συντελεστή:

  $$\mathrm{\mid }AP{\mathrm{\mid }}^2+\frac{\mathrm{\mid }AB\mathrm{\mid }}{\mathrm{\mid }CD\mathrm{\mid }}\cdot \mathrm{\mid }PC{\mathrm{\mid }}^2=\mathrm{\mid }BP{\mathrm{\mid }}^2+\frac{\mathrm{\mid }AB\mathrm{\mid }}{\mathrm{\mid }CD\mathrm{\mid }}\cdot \mathrm{\mid }PD{\mathrm{\mid }}^2$$

  Όταν το τραπέζιο είναι ορθογώνιο, $|AB| = |CD|$ και η σχέση απλοποιείται στο αρχικό θεώρημα.

• Σε περισσότερες διαστάσεις: Ισχύει ακόμη κι αν το ορθογώνιο βρίσκεται μέσα σε χώρο τριών ή περισσότερων διαστάσεων — το $P$ μπορεί να είναι οπουδήποτε.

---

🇬🇧 Προέλευση Ονόματος

Ονομάστηκε έτσι γιατί αν σχεδιάσουμε όλες τις συνδέσεις από το P προς τις κορυφές και τις προβολές του, το σχήμα που προκύπτει μοιάζει με τον σταυρό και τις διαγώνιες της σημαίας του Ηνωμένου Βασιλείου (Union Jack).