Ο Τύπος του Cayley–Menger: Ο Όγκος Ενός Τετραέδρου

Ο υπολογισμός του όγκου ενός τετραέδρου, δηλαδή ενός πολυέδρου με τέσσερις κορυφές και τέσσερις τριγωνικές έδρες, μπορεί να γίνει με πολλούς τρόπους.

Ένας από τους πιο εντυπωσιακούς είναι ο τύπος του Cayley–Menger, ο οποίος εκφράζει τον όγκο αποκλειστικά με βάση τα μήκη των ακμών, χωρίς να χρειάζεται να γνωρίζουμε ύψη ή συντεταγμένες σημείων.

Αν το τετράεδρο ABCD έχει ακμές:

• $BC = a$
• $CA = b$
• $AB = c$
• $AD = a'$
• $BD = b'$
• $CD = c'$

τότε ο όγκος $V$ δίνεται από τον ορίζοντα Cayley–Menger:

$$ V^2 = \frac{1}{288} \begin{vmatrix} 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & a'^2 & b'^2 & c'^2 \\ 1 & a'^2 & 0 & c^2 & b^2 \\ 1 & b'^2 & c^2 & 0 & a^2 \\ 1 & c'^2 & b^2 & a^2 & 0 \end{vmatrix} $$

Πρόκειται για μια πανίσχυρη γενίκευση του τύπου του Ηροδότου για τρίγωνα. Ο Cayley–Menger determinant δεν αφορά μόνο τετράεδρα, αλλά και γενικότερα απλούς γεωμετρικούς χώρους: με τον ίδιο τρόπο μπορεί να εκφράσει όγκους σε μεγαλύτερες διαστάσεις.

Ιστορικό Πλαίσιο

Ο Arthur Cayley (1821–1895), ένας από τους μεγαλύτερους Άγγλους μαθηματικούς, και ο Karl Menger (1902–1985), Αυστριακός μαθηματικός που εργάστηκε στη γεωμετρία και την τοπολογία, ανέπτυξαν ανεξάρτητα ιδέες που οδήγησαν στον γνωστό πλέον Cayley–Menger determinant. Ο τύπος αυτός αποτελεί κομβικό εργαλείο στη θεωρητική γεωμετρία αλλά και σε εφαρμογές όπως η υπολογιστική γεωμετρία, η ρομποτική και η υπολογιστική χημεία.

Μια πιο συμπαγής μορφή

Υπάρχει και πιο σύντομη έκφραση του τύπου:

$$ V^2 = \frac{1}{144} \left( \Big( \sum_{\text{edges}} a^2 \Big) \Big( \sum_{\text{edges}} a^2 a'^2 \Big) - 2 \sum a^2 a'^2 (a^2 + a'^2) - \sum_{\text{faces}} a^2 b^2 c^2 \right). $$

Ο τύπος αυτός δείχνει ξεκάθαρα πως ο όγκος εξαρτάται συμμετρικά από όλα τα μήκη των ακμών του τετραέδρου.