Continued Fraction vs Decimal: Τι Λέει το Θεώρημα Lochs

Το Θεώρημα Lochs: Continued Fractions vs Δεκαδική Ανάπτυξη

Το Lochs’ theorem αφορά την ταχύτητα με την οποία η συνέχιση continued fraction ενός τυπικού πραγματικού αριθμού αποδίδει δεκαδικά ψηφία.

Για σχεδόν όλους τους \(x \in (0,1)\), αν \(m\) είναι οι όροι continued fraction που απαιτούνται για να καθορίσουν τις πρώτες \(n\) δεκαδικές θέσεις, τότε:

$$ \lim_{n\to\infty} \frac{m}{n} = \frac{6 \ln(2)\,\ln(10)}{\pi^2} \approx 0.97027014 $$

Αυτό σημαίνει ότι κατά μέσο όρο, κάθε όρος continued fraction προσθέτει περίπου **ένα ακόμα δεκαδικό ψηφίο ακρίβειας**.

---

🌟 Εξαίρεση: Η Χρυσή Τομή

Η χρυσή τομή \( \phi = [1;1,1,1,\dots] \) απαιτεί περίπου **2,39 συνεχείς κλάσεις** για κάθε δεκαδικό ψηφίο — δηλαδή πολύ πιο αργή σύγκλιση από τη γενική περίπτωση :contentReference[oaicite:7]{index=7}.

---

Πηγές

• Wikipedia: Lochs’ theorem
• MathWorld: Lochs’ Theorem