Fish Curve: Το Ψάρι της Αναλυτικής Γεωμετρίας

Τι είναι η Fish Curve;

Η fish curve είναι μια ειδική αρνητική πεδική καμπύλη (negative pedal curve) ελλείψεως, όπου το pedal point βρίσκεται κοντά σε ένα από τα εστίες της έλλειψης, υπό την προϋπόθεση ότι η εκκεντρότητα της έλλειψης ισούται με $e^2 = \dfrac{1}{2}$​.

image@Cliff Pickover

---

Εξισώσεις και Ιδιότητες

• Αν η έλλειψη παραμετροποιείται ως: $$x = a \cos t, \qquad y = \frac{a \sin t}{\sqrt{2}},$$τότε η fish curve παραμετροποιείται ως:
  $$x = a \cos t - \frac{a \sin^2 t}{\sqrt{2}}, \qquad y = a \cos t \sin t$$

  

• Η Καρτεσιανή (implicit) εξίσωση της καμπύλης, μετά από κατάλληλη μετάθεση του μηδενικού σημείου (στο “node”), είναι: $$(2x^2 + y^2)^2 - 2\sqrt{2}\,a\,x\,(2x^2 - 3y^2) + 2a^2\,(y^2 - x^2) = 0$$
  

• Εμβαδόν (ολικό): $$A = \frac{4}{3}a^2$$όπου το τμήμα της “ουράς” και της “κεφαλής” έχουν εμβαδά:
  $$A_\text{tail} = \left( \frac{2}{3} - \frac{\pi}{4\sqrt{2}} \right)a^2, \quad A_\text{head} = \left( \frac{2}{3} + \frac{\pi}{4\sqrt{2}} \right)a^2$$
  

• Μήκος τόξου: $$s = a \sqrt{2} \left( \frac{\pi}{2} + 3 \right)$$