Mean Line Segment Length: Από το Τετράγωνο στον Υπερκύβο

Μέσο Μήκος Τυχαίας Ευθείας σε Τετράγωνο, Κύβο & Υπερκύβο

Ακόμη και για απλά σχήματα, όπως ένα τετράγωνο ή ένα τρίγωνο, ο υπολογισμός της μέσης απόστασης μεταξύ δύο τυχαίων σημείων (δηλαδή του mean line segment length) μπορεί να είναι δύσκολος, καθώς οι ακριβείς τύποι συχνά είναι περίπλοκοι.

Για παράδειγμα: Ποια είναι η μέση απόσταση μεταξύ δύο τυχαία επιλεγμένων σημείων μέσα σε ένα τετράγωνο πλευράς 1;

$$ \frac{2+\sqrt{2}+5\ln(1+\sqrt{2})}{15} \approx 0.521405 $$

Αυτή η τιμή είναι το μέσο μήκος τυχαίας ευθείας για ένα τετράγωνο μοναδιαίας πλευράς. Γενικεύοντας, για n‑διάστατο μονάδα υπερκύβο, ορίζεται:

$$ \Delta(n) = \int_{[0,1]^n}\int_{[0,1]^n} \|x - y\| \, dx\, dy $$

📐 Τιμές για Μικρές Διαστάσεις

Διάσταση n	Μέσο Μήκος Δ(n)	Ακριβής Τιμή
1	≈ 0.3333	\( \frac{1}{3} \)
2	≈ 0.521405	\( \frac{2+\sqrt{2}+5\ln(1+\sqrt{2})}{15} \)
3	≈ 0.661707	Πολύπλοκη έκφραση με λογάριθμους & ρίζες
4	≈ 0.777666	-
5	≈ 0.878531	-

Ισχυρές Εκτιμήσεις

$$ \frac{1}{3}\sqrt{n} \le \Delta(n) \le \sqrt{\frac{n}{6}} \sqrt{\frac{1 + 2\sqrt{1 - \frac{3}{5n}}}{3}} $$

---

Πηγές

• Wikipedia: Mean line segment length
• MathWorld: Hypercube Line Picking