Η Εξίσωση του Pell: Ένα Αρχαίο Μαθηματικό Μυστήριο

Μια εξίσωση που συνδέει την αρχαία μαθηματική σκέψη με σύγχρονες ιδέες (ακόμα και στην κρυπτογραφία):

$$x^2-D{y}^2=1,D\in \mathbb{N}\mathrm{.}$$

Τι είναι η εξίσωση του Pell;

Η εξίσωση του Pell είναι διοφαντική εξίσωση της μορφής

$x^2−Dy^2=±1,x,y∈Z$

όπου συνήθως θεωρούμε το $D$ χωρίς τετραγωνικό παράγοντα (δηλαδή δεν διαιρείται από κανένα τέλειο τετράγωνο $>1$). Αν $D=d^2 D'$, η αντικατάσταση $y=d\,y'$ «απορροφά» τον τετράγωνο παράγοντα.

Γιατί όχι τέλειο τετράγωνο; Αν $D=d^2$, τότε

$$x^2-D{y}^2=(x-dy)(x+dy)=1,$$

κι αυτό οδηγεί μόνο σε τετριμμένες ακέραιες λύσεις μέσω απλής διερεύνησης. Η «μαγεία» της εξίσωσης εμφανίζεται όταν το $D$ δεν είναι τέλειο τετράγωνο.

Η θεμελιώδης λύση και οι άπειρες λύσεις

Για κάθε μη τετράγωνο $D$, η εξίσωση

$$x^2-D{y}^2=1$$

έχει τουλάχιστον μία λύση σε θετικούς ακεραίους και μάλιστα άπειρες διακεκριμένες λύσεις. Ξεκινάμε από τη θεμελιώδη λύση $(x_1,y_1)$ (εκείνη με το μικρότερο θετικό $x$) και όλες οι υπόλοιπες παράγονται από τις δυνάμεις της μονάδας στον δακτύλιο $\mathbb{Z}[\sqrt D]$

$$(x_1+y_1\sqrt D)^n = x_n + y_n \sqrt D,\qquad n=1,2,3,\ldots$$

που δίνουν λύσεις $(x_n,y_n)$.

Παράδειγμα $D=2$: Η θεμελιώδης λύση είναι $(3,2)$ αφού $3^2-2\cdot2^2=1$.
Για $n=2$: $(3+2\sqrt2)^2=17+12\sqrt2\Rightarrow (x,y)=(17,12)$ και $17^2-2\cdot12^2=1$
Έτσι συνεχίζουμε επ’ άπειρον.

Πώς βρίσκουμε τη θεμελιώδη λύση;

Το κλειδί είναι τα συνεχή κλάσματα της $\sqrt D$. Το ανάπτυγμά τους είναι περιοδικό (Θεώρημα Lagrange), και οι συγκλίνοντες παρέχουν εξαιρετικές ρητές προσεγγίσεις της $\sqrt D$. Ο κατάλληλος συγκλίνοντας (πριν «κλείσει» ο κύκλος της περιόδου) παράγει τη θεμελιώδη λύση.

Λίγη ιστορία

Παρότι φέρει το όνομα του John Pell, η εξίσωση μελετήθηκε πολύ νωρίτερα στην Ινδία από τους Brahmagupta και Bhāskara II, με μεθόδους επίλυσης που διαδόθηκαν αργότερα στην Ευρώπη. Την ανέλυσαν οι Fermat, Euler, και συστηματοποίησε τη θεωρία ο Lagrange.

Γιατί μας αφορά σήμερα;

Πέρα από το κλασικό ενδιαφέρον της θεωρίας αριθμών, η δομή των λύσεων συνδέεται με μονάδες σε τετραδικό πεδίο $\mathbb{Q}(\sqrt D)$ και έχει εμφανίσεις σε αλγοριθμική αριθμητική και σε πτυχές της κρυπτογραφίας (π.χ. κατασκευές με τετραγωνικές μορφές και ιδεώδη).