Κύβοι που τελειώνουν στον ίδιο αριθμό – οι 30ψήφιοι αυτομορφικοί

Παρατηρούμε ότι ο $51^3$ τελειώνει σε 51 και ο $249^3$ τελειώνει σε 249. Λέμε ότι ένας φυσικός αριθμός είναι αυτομορφικός (ως προς τον κύβο) αν ο κύβος του τελειώνει στα ίδια ψηφία με τον ίδιο τον αριθμό.

• (α) Πόσοι 30ψήφιοι φυσικοί αριθμοί έχουν την ιδιότητα ο κύβος τους να τελειώνει στον ίδιο αριθμό;

• (β) Δίνεται το στοιχείο ότι το τετράγωνο του

  $$\mathbf{A}=\mathbf{893380022607743740081787109376}$$

  τελειώνει επίσης στον ίδιο αριθμό. Με βάση αυτό το στοιχείο, να προσδιορίσετε όλους τους 30ψήφιους φυσικούς αριθμούς των οποίων ο κύβος τελειώνει στον ίδιο αριθμό.