🐪 Το Πρόβλημα των Καμήλων και τα Αιγυπτιακά Κλάσματα

Η ιστορία

Ένας πατέρας άφησε στους τρεις γιους του 17 καμήλες με την εξής μοιρασιά:

• ο πρώτος να πάρει το 1/2,

• ο δεύτερος το 1/3,

• ο τρίτος το 1/9.

Το πρόβλημα;
Οι αριθμοί δεν «βγαίνουν»: ούτε το 17/2, ούτε το 17/3, ούτε το 17/9 είναι ακέραιοι.

Οι γιοι μάλωναν, ώσπου εμφανίστηκε ένας σοφός γέροντας. Έφερε τη δική του καμήλα και την πρόσθεσε στις 17: τώρα υπήρχαν 18 καμήλες.

• Ο πρώτος πήρε το 1/2 → 9 καμήλες

• Ο δεύτερος πήρε το 1/3 → 6 καμήλες

• Ο τρίτος πήρε το 1/9 → 2 καμήλες

Σύνολο: $9+6+2=17$.
Η μία καμήλα περίσσεψε και ο γέροντας την πήρε πίσω.
Το πρόβλημα είχε λυθεί με μαγικό τρόπο.

---

Η μαθηματική εξίσωση

Αν γενικεύσουμε την ιστορία, το ζητούμενο είναι να λυθεί η εξίσωση:

$$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{n}=1,$$

όπου $a,b,c$ είναι οι «μερίδες» των γιων και $n$ είναι ο αριθμός των καμήλων (με τον γέροντα να παίζει το ρόλο του «+1»).

Στο κλασικό παράδειγμα έχουμε:

$$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\frac{1}{18}=1.$$

---

Σύνδεση με τα Αιγυπτιακά Κλάσματα

Οι αρχαίοι Αιγύπτιοι έγραφαν κάθε ρητό αριθμό ως άθροισμα μοναδιαίων κλασμάτων (δηλαδή κλασμάτων με αριθμητή 1).

Παράδειγμα:

$$\frac{5}{9}=\frac{1}{2}+\frac{1}{18}\mathrm{.}$$

Βλέπουμε ότι το πρόβλημα των καμήλων είναι ακριβώς μια τέτοια αναπαράσταση:

$$1=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\frac{1}{18}\mathrm{.}$$

Δηλαδή, η μοιρασιά δεν είναι απλώς μια «μαγική ιστορία», αλλά ένα κανονικό αιγυπτιακό κλάσμα του 1.

---

Γενικεύσεις και άλλες λύσεις

Υπάρχουν πολλές λύσεις της εξίσωσης

$$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{n}=1,$$

με διαφορετικές τιμές. Για παράδειγμα:

• $\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{3}+\tfrac{1}{7}+\tfrac{1}{42}=1$
  

• $\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{5}+\tfrac{1}{20}=1$
  

• $\tfrac{1}{3}+\tfrac{1}{3}+\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{12}=1$
  

Κάθε μια αντιστοιχεί σε μια διαφορετική «ιστορία με καμήλες» και διαφορετικό πλήθος κληρονόμων.

Μάλιστα, για περισσότερους από 3 ή 4 κληρονόμους, οι λύσεις πληθαίνουν γρήγορα, και χρειάζεται συστηματικός αλγόριθμος (όπως η μέθοδος Engel) για να τις βρούμε.

---

📌 Συμπέρασμα:

Το πρόβλημα των καμήλων δεν είναι απλώς ένας ανατολίτικος μύθος, αλλά μια πανέμορφη εφαρμογή των αιγυπτιακών κλασμάτων, που δείχνει πώς οι αριθμητικές παραστάσεις μπορούν να συνδυαστούν με ιστορίες και γρίφους.