Οι τέλειοι αριθμοί είναι εκείνοι που ισούνται με το άθροισμα όλων των διαιρετών τους, εξαιρουμένου του ίδιου του αριθμού. Για παράδειγμα, ο μικρότερος τέλειος αριθμός είναι το 6, αφού \(6 = 1+2+3\).
Γενικά, οι τέλειοι αριθμοί συνδέονται στενά με τους πρώτους αριθμούς του Μερσέν (Mersenne primes). Στην πραγματικότητα, κάθε άρτιος τέλειος αριθμός έχει τη μορφή: \[ n_P = 2^c(2^{c+1}-1), \] όπου ο αριθμός \(2^{c+1}-1\) είναι ένας πρώτος του Μερσέν.
Να δείξετε:
- Ότι ο αριθμός 496 είναι τέλειος αριθμός.
- Ότι η παραπάνω γενική μορφή παράγει πάντοτε τέλειο αριθμό.
Απάντηση
1. Η περίπτωση του 496
Ο αριθμός 496 γράφεται: \[ 496 = 2^4(2^5 - 1) = 16 \times 31. \] Οι διαιρέτες του είναι: \[ 1, 2, 2^2, 2^3, 2^4, 31, 2 \cdot 31, 2^2 \cdot 31, 2^3 \cdot 31, 2^4 \cdot 31. \] Το άθροισμα των διαιρετών (χωρίς το 496) είναι: \[ 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31(1+2+4+8). \]
Θέτουμε: \[ u = 1+2+4+8+16. \] Αν υπολογίσουμε: \[ 2u = 2+4+8+16+32, \] τότε: \[ 2u - u = 32-1=31 \quad \Rightarrow \quad u=31. \] Άρα το άθροισμα είναι: \[ 31 + 31 \cdot (16-1) = 31 + 31 \cdot 15 = 31 \cdot 16 = 496. \] Συνεπώς, ο 496 είναι πράγματι τέλειος αριθμός.
2. Η γενική περίπτωση
Έστω τέλειος αριθμός της μορφής: \[ n_P = 2^c(2^{c+1}-1), \] με \(2^{c+1}-1\) πρώτος του Μερσέν. Οι διαιρέτες του είναι: \[ 1, 2, 2^2, \dots, 2^c,\quad (2^{c+1}-1),\quad 2(2^{c+1}-1),\dots,2^c(2^{c+1}-1). \]
Το άθροισμα (χωρίς τον ίδιο τον αριθμό) είναι: \[ (1+2+\cdots+2^c) + (2^{c+1}-1)(1+2+\cdots+2^{c-1}). \] Υπολογίζουμε: \[ u = 1+2+\cdots+2^c. \] Αν διπλασιάσουμε: \[ 2u = 2+4+\cdots+2^c+2^{c+1}, \] τότε: \[ 2u-u=2^{c+1}-1 \quad \Rightarrow \quad u=2^{c+1}-1. \] Άρα το άθροισμα των διαιρετών είναι: \[ (2^{c+1}-1) + (2^{c+1}-1)(2^c-1) = (2^{c+1}-1)\cdot 2^c = n_P. \]
Έτσι, κάθε αριθμός της μορφής αυτής είναι τέλειος. □
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου