Οι Πρώτοι Αριθμοί του Fermat: Η Εικασία και η Ανατροπή

Οι Fermat primes είναι πρώτοι αριθμοί της μορφής:

$$F_n=2^{2^n}+1$$

όπου $n$ είναι μη αρνητικός ακέραιος.

---

Απάντηση

Ο ίδιος ο Pierre de Fermat πίστευε ότι όλοι οι αριθμοί αυτής της μορφής είναι πρώτοι.

Ωστόσο, έχουν βρεθεί μόνο πέντε Fermat primes:

$$F_0=3,F_1=5,F_2=17,F_3=257,F_4=\mathrm{65,537}$$

Για το $F_5 = 2^{32} + 1 = 4{,}294{,}967{,}297$, ο Euler απέδειξε ότι δεν είναι πρώτος (διαιρείται με 641).

Μέχρι σήμερα, δεν έχουν βρεθεί άλλοι Fermat primes. Παραμένει άγνωστο αν υπάρχουν πεπερασμένα ή άπειρα τέτοια παραδείγματα.