Θεώρημα Πίτσας (8 ίσα τόξα): οι εναλλάξ φέτες έχουν ίσο εμβαδόν

Κόβουμε έναν κύκλο σε 8 ίσα τόξα και ενώνουμε ένα τυχαίο σημείο \(P\) με τα άκρα των τόξων. Οι 8 τριγωνικές «φέτες» χρωματίζονται εναλλάξ (γαλάζιο/μωβ). 

Να αποδειχθεί: \(\text{Άθροισμα γαλάζιων εμβαδών}=\text{Άθροισμα μωβ εμβαδών}\), για οποιαδήποτε θέση του \(P\).

Απόδειξη 

Θεωρούμε τα διαδοχικά σημεία $A,B,C,D,E,F,G,H$ πάνω στον κύκλο (8 ίσα τόξα) και οποιοδήποτε $P$.

Θέλουμε να δείξουμε:

$$(PAB)+(PCD)+(PEF)+(PGH)=(PBC)+(PDE)+(PFG)+(PHA)\mathrm{.}$$

1. Για κάθε διαδοχικό $X,Y$ ισχύει 

$$(PXY)=(OXY)+(POY)-(POX)\mathrm{.}$$

2. Θέτουμε

$$S=(PAB)-(PBC)+(PCD)-(PDE)+(PEF)-(PFG)+(PGH)-(PHA)\mathrm{.}$$

Αντικαθιστούμε από (1) και ομαδοποιούμε τους όρους $(OXY)$ και τους όρους με $P$.

3. Επειδή όλα τα $(OXY)$ (ίδια κεντρική γωνία $45^\circ$) έχουν ίσο εμβαδό, στο εναλλάξ άθροισμα διαγράφονται δύο-δύο ⇒ αποτέλεσμα $0$.

4. Για τους όρους με $P$: χρησιμοποιούμε ότι τα διαμετρικά αντίθετα σημεία δίνουν

$$(POA)=(POE),(POB)=(POF),(POC)=(POG),(POD)=(POH)\mathrm{.}$$

Έτσι οι εμφανιζόμενες διαφορές $(POB)-(POF), (POA)-(POE)$, κ.ο.κ. διαγράφονται ανά ζεύγη ⇒ αποτέλεσμα $0$.

Άρα $S=0$ και επομένως τα δύο αθροίσματα είναι ίσα. □