Γρίφοι με αριθμούς και απρόσμενες ιδιότητες

(1) Βρείτε τον πραγματικό αριθμό $x$ ώστε το μισό του να ισούται με τον κύβο του μισού του:

$$\frac{x}{2}={\left(\frac{x}{2}\right)}^3\mathrm{.}$$

(2) Βρείτε όλους τους φυσικούς αριθμούς $n$ με την ιδιότητα:

• ο αριθμός $n$ αυξημένος κατά 1 δίνει διπλάσιο τετράγωνο, και

• το τετράγωνο του $n$ αυξημένο κατά 1 δίνει επίσης διπλάσιο τετράγωνο.

Δηλαδή υπάρχουν $a,b\in\mathbb{N}$ ώστε

$$n+1=2a^2\text{και}{n}^2+1=2b^2\mathrm{.}$$

(3) Βρείτε τον μικρότερο φυσικό αριθμό $N$ που:

• είναι πολλαπλάσιο του 7,

• το άθροισμα των ψηφίων του είναι 13,

• και ο πλησιέστερος σε αυτόν ακέραιος με τελευταία cifra 1 είναι το γινόμενο $13\times 13$ επί τρεις διαδοχικούς αριθμούς.

Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.