Ψάχνοντας το δωμάτιο του συνεχούς

Στο κλειδί βλέπουμε το $2^{\aleph_0}$, που είναι το πληθάριθμο του συνεχούς, δηλαδή το μέγεθος του συνόλου των πραγματικών αριθμών.

• Ο όροφος $\aleph_1$ αναφέρεται στον πρώτο μη αριθμήσιμο πληθάριθμο.

• Το ερώτημα είναι: βρίσκεται πράγματι το $2^{\aleph_0}$ σε αυτόν τον όροφο;

Αυτό ακριβώς είναι η Υπόθεση του Συνεχούς (Continuum Hypothesis, CH):

$$2^{{\mathrm{\aleph }}_0}={\mathrm{\aleph }}_1?$$

Εάν η Υπόθεση του Συνεχούς είναι αληθής, τότε το «δωμάτιό» σας είναι πράγματι στον όροφο $\aleph_1$. Εάν όχι, τότε βρίσκεται σε κάποιον μεγαλύτερο πληθάριθμο ($\aleph_2, \aleph_3, \dots$).

Με άλλα λόγια: δεν μπορείτε να βρείτε το δωμάτιό σας στον όροφο $\aleph_1$, γιατί το ζήτημα αυτό είναι ανεξάρτητο από τα αξιώματα της θεωρίας συνόλων ZFC – δεν μπορεί να αποδειχθεί ούτε να διαψευσθεί εντός τους.