Η Υπερβατικότητα του π: Γιατί ο π δεν Κατασκευάζεται με Κανόνα και Διαβήτη

 Ο αριθμός π ορίζεται ως ο λόγος της περιφέρειας ενός κύκλου προς τη διάμετρό του. Είναι γνωστό ότι:

• Ο π είναι άρρητος αριθμός — δεν μπορεί να εκφραστεί ως λόγος δύο ακεραίων.

  

• Ο π είναι επίσης υπερβατικός αριθμός — δεν είναι ρίζα καμίας αλγεβρικής εξίσωσης με ρητούς συντελεστές.

Για παράδειγμα, η $\sqrt{2}$ είναι άρρητη αλλά όχι υπερβατική, αφού είναι ρίζα της εξίσωσης

$$x^2-2=0.$$

Τι κάνει τον π διαφορετικό;

Απάντηση

Η υπερβατικότητα του π σημαίνει ότι, ενώ μπορούμε να τον προσεγγίσουμε απεριόριστα καλά, δεν μπορούμε ποτέ να τον κατασκευάσουμε ακριβώς με πεπερασμένο αριθμό βημάτων χρησιμοποιώντας μόνο κανόνα και διαβήτη.

Παράδειγμα με $\sqrt{2}$

Η $\sqrt{2}$ κατασκευάζεται με ένα απλό ορθογώνιο τρίγωνο: αν έχουμε δύο κάθετες πλευρές μήκους 1, η υποτείνουσα έχει μήκος $\sqrt{2}$.

Προσπάθεια με τον π

Έστω κύκλος μοναδιαίας διαμέτρου (δηλαδή ακτίνας $R = \tfrac{1}{2}$). Η περιφέρειά του είναι $\pi$.

Για να προσεγγίσουμε αυτή την περιφέρεια, χωρίζουμε τον κύκλο σε $n$ ίσα τόξα με γωνία $2\pi/n$.

Σχηματίζονται ισοσκελή τρίγωνα και κάθε πλευρά χορδής έχει μήκος:

$$AB=\sin \text{\hspace{0.17em}⁣}\left(\frac{\pi }{n}\right)\mathrm{.}$$

Άρα το συνολικό μήκος όλων των χορδών είναι:

$$n\cdot AB=n\sin \text{\hspace{0.17em}⁣}\left(\frac{\pi }{n}\right)\mathrm{.}$$

Τώρα:

$$n\sin \text{\hspace{0.17em}⁣}\left(\frac{\pi }{n}\right)=\pi \cdot \frac{\sin (\pi \mathrm{/}n)}{\pi \mathrm{/}n}\mathrm{.}$$

Καθώς $n \to \infty$, έχουμε $\sin(\pi/n)/(\pi/n) \to 1$. Επομένως:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }n\sin \text{\hspace{0.17em}⁣}\left(\frac{\pi }{n}\right)=\pi \mathrm{.}$$

Συμπέρασμα

Με καμία πεπερασμένη τιμή του $n$ δεν παίρνουμε ακριβώς $\pi$. Κάθε φορά κατασκευάζουμε μόνο μια προσέγγιση.

Έτσι, ενώ η $\sqrt{2}$ ανήκει στους αλγεβρικούς αριθμούς και κατασκευάζεται, ο π παραμένει υπερβατικός και μη κατασκευάσιμος με κανόνα και διαβήτη.