Ο Αριθμός $(i)^i$ : Ένας Μιγαδικός που Γίνεται Πραγματικός

Να υπολογιστεί ο αριθμός $(i)^i$, όπου $i = \sqrt{-1}$, και να προσδιοριστεί σε ποιο σύνολο αριθμών ανήκει.

Απάντηση

Χρησιμοποιούμε την εκθετική μορφή των μιγαδικών:

$$i=e^{i\pi \mathrm{/}2}\mathrm{.}$$

Τότε:

$$(i{)}^i=(e^{i\pi \mathrm{/}2}{)}^i=e^{i\cdot i\pi \mathrm{/}2}=e^{-\pi \mathrm{/}2}\mathrm{.}$$

Αριθμητικά:

$$(i{)}^i\approx 0.2078796\dots$$

Πρόκειται για έναν πραγματικό και μάλιστα υπερβατικό αριθμό (transcendental).