Πώς Υπολογίζουμε τον n-οστό Όρο της Ακολουθίας Fibonacci;

Ρώτησε ένας μαθητής: «Για να βρω τον 47ο όρο της ακολουθίας Fibonacci, πρέπει να υπολογίσω πρώτα όλους τους προηγούμενους 46;»

Η ακολουθία Fibonacci ξεκινά με τα δύο πρώτα μέλη 1 και 1, και κάθε επόμενο προκύπτει από το άθροισμα των δύο προηγούμενων:

$$1, \; 1, \; 2, \; 3, \; 5, \; 8, \; 13, \; 21, \; 34, \; 55, \; \dots$$

Συνδέεται στενά με τη «χρυσή τομή» (Φ, phi), γνωστή και ως divine proportion.

---

Απάντηση

Όχι, δεν χρειάζεται να βρεις όλους τους προηγούμενους όρους. Υπάρχει ο τύπος του Binet, που δίνει απευθείας τον n-οστό όρο:

$$F_n = \frac{\varphi^n - (1-\varphi)^n}{\sqrt{5}}$$

όπου

$$\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1.618...$$

🔹 Για παράδειγμα, αν θέλετε το $F_{47}$, αρκεί να βάλετε $n=47$ στον τύπο.