997411968: Ένας Εντυπωσιακός Αριθμός με Μοναδικές Μαθηματικές Ιδιότητες

Ο αριθμός 997,411,968 παρουσιάζει εντυπωσιακό πλούτο μαθηματικών ιδιοτήτων και αποτελεί παράδειγμα αριθμητικής πολυπλοκότητας.

Η παραγοντοποίησή του είναι:

$$997,411,968=27\times 37\times 7\times 509$$

και διαθέτει 256 διαιρέτες, των οποίων το άθροισμα είναι

$$\sigma = 3,412,512,000.$$

Η συνάρτηση του Euler για τον αριθμό αυτό είναι

$$\varphi = 284,414,976.$$

Οι γειτονικοί πρώτοι αριθμοί είναι ο 997,411,939 (προηγούμενος) και ο 997,411,969 (επόμενος). Ενδιαφέρον έχει ότι αν αναστρέψουμε τα ψηφία του, παίρνουμε τον αριθμό 869,114,799.

Ο 997,411,968 είναι αριθμός Harshad, επειδή διαιρείται από το άθροισμα των ψηφίων του (54). Είναι επίσης nude number, καθώς διαιρείται από κάθε ένα από τα ψηφία του, και Zuckerman number, επειδή διαιρείται από το γινόμενο των ψηφίων του (979,776).

Δεν είναι unprimeable number, αφού με την αλλαγή ενός μόνο ψηφίου (997411969) μετατρέπεται σε πρώτο αριθμό.

Είναι ευγενής αριθμός (polite number), καθώς μπορεί να εκφραστεί με 31 διαφορετικούς τρόπους ως άθροισμα διαδοχικών φυσικών αριθμών — για παράδειγμα:

$$1,959,298 + \dots + 1,959,806.$$

Ο 997,411,968 είναι αριθμός με αριθμητική μέση τιμή διαιρετών ακέραια (arithmetic number), καθώς ο μέσος όρος των διαιρετών του είναι 13,330,125.

Πιθανότατα είναι και αποκαλυπτικός (apocalyptic) αριθμός, ενώ ταξινομείται ως amenable number.

Πρόκειται και για πρακτικό αριθμό (practical number), καθώς κάθε μικρότερος αριθμός μπορεί να εκφραστεί ως άθροισμα διακεκριμένων διαιρετών του. Είναι επίσης Zumkeller number, διότι οι διαιρέτες του μπορούν να χωριστούν σε δύο σύνολα με ίσο άθροισμα (1,706,256,000).

Ο 997,411,968 είναι άφθονος αριθμός (abundant), αφού είναι μικρότερος από το άθροισμα των ορθών διαιρετών του (2,415,100,032). Παράλληλα είναι ψευδοτέλειος (pseudoperfect), καθώς είναι ίσος με το άθροισμα ενός υποσυνόλου των ορθών διαιρετών του.

Επίσης, είναι οικονομικός (frugal) αριθμός, επειδή η αναπαράστασή του χρησιμοποιεί περισσότερα ψηφία από ό,τι η παραγοντοποίησή του.

Τέλος, χαρακτηρίζεται ως evil number, καθώς το άθροισμα των δυαδικών ψηφίων του είναι ζυγός αριθμός.

Το άθροισμα των πρώτων παραγόντων του είναι 551 (ή 521 αν μετρήσουμε μόνο τους διακεκριμένους).
Η τετραγωνική ρίζα του είναι περίπου 31,581.83, ενώ η κυβική ρίζα του είναι περίπου 999.14.

Στην αγγλική γραφή, ο αριθμός προφέρεται ως
“nine hundred ninety-seven million, four hundred eleven thousand, nine hundred sixty-eight.”