EisatoponAI: Artin Constant: Η Σταθερά που Ρυθμίζει τις Primitive Roots

Η Υπόθεση του Artin για Ρίζες Πρώτης Τάξης (Primitive Roots)

Η Conjecture του Artin υποστηρίζει ότι αν $a$ είναι ακέραιος που δεν είναι τετράγωνο και δεν ισούται με -1, τότε υπάρχει άπειρο πλήθος πρώτων $p$ για τα οποία $a$ είναι primitive root modulo $p$. Επιπλέον, η αναλογία τέτοιων πρώτων έχει ασυμπτωτική πυκνότητα ίση με την Artin’s constant.

$$ C_{\text{Artin}} = \prod_{p\,\text{prime}} \left(1 - \frac{1}{p(p-1)}\right) \approx 0.3739558136\ldots $$

📌 Σύντομη Διατύπωση

Αν $a$ δεν είναι τετράγωνο και $a \ne -1$, τότε το σύνολο $S(a) = \{p : a\text{ primitive root mod }p\}$ είναι απείρως μεγάλο.
Αν $a$ ικανοποιεί επιπλέον ότι $a_0 \not\equiv 1 \pmod{4}$, τότε $\mathrm{dens}(S(a)) = C_{\text{Artin}}$.

📈 Προχωρημένα Αποτελέσματα

Το 1967, ο Hooley απέδειξε την υπόθεση υπό την υπόθεση της γενικευμένης Riemann (GRH) :contentReference[oaicite:1]{index=1}.
Το 1984, οι Gupta & Murty απέδειξαν ανεξαρτήτως της GRH ότι υπάρχουν άπειρα $a$ για τα οποία η υπόθεση ισχύει. Ο Heath‑Brown έδειξε ότι υπάρχουν το πολύ δύο εξαιρέσεις prime $a$ για τις οποίες η υπόθεση μπορεί να αποτύχει :contentReference[oaicite:2]{index=2}.

Παράδειγμα

Για $a = 2$, οι πρώτοι για τους οποίους το 2 είναι primitive root είναι, μεταξύ άλλων: 3, 5, 11, 13, 19, 29, … Έως τα 500, υπάρχουν 38 τέτοιοι / 95 συνολικά ≈ 0.4. Η πυκνότητα εκτιμάται ότι συγκλίνει στο ≈ 0.37396 = $C_{\text{Artin}}$ :contentReference[oaicite:3]{index=3}.