Η πρόκληση του Van Roomen (1593) και ο θρίαμβος του François Viète: όταν η τριγωνομετρία λύνει ένα πολυώνυμο 45ου βαθμού

Η ιστορική στιγμή

Η ιστορία είναι ένα από τα πιο συναρπαστικά επεισόδια στην ιστορία των μαθηματικών – ένα επεισόδιο που φανερώνει τη δύναμη της διεπιστημονικής σκέψης και της αναγνώρισης προτύπων. Το 1593 ο Adriaen van Roomen δημοσιοποιεί μια εξίσωση 45ου βαθμού και προκαλεί τους μαθηματικούς της Ευρώπης να τη λύσουν. Στην επιστολή του αναφέρει 16 καταξιωμένους – κανέναν Γάλλο. Ο Ερρίκος Δ΄ θίγεται και καλεί τον François Viète.

Η Πρόκληση του Van Roomen (1593)

Ο Van Roomen διατυπώνει εξίσωση της μορφής:

$$x^{45}-45x^{43}+945x^{41}-\cdots =a,$$

όπου οι συντελεστές ακολουθούν συγκεκριμένο τριγωνομετρικό μοτίβο. Για ειδικές τιμές του $a$, δίνει «ενδείξεις» λύσεων. Το ζητούμενο μοιάζει αχανές – μέχρι να εμφανιστεί ο Viète.

Η διορατικότητα του Viète

Το επίτευγμα του Viète δεν είναι μόνο τεχνικό· είναι γνωσιακό:

• Ταύτιση προτύπου: Διέκρινε ότι οι συντελεστές προέρχονται από την ανάπτυξη του $\sin(45\theta)$ ως πολυώνυμο του $\sin\theta$ (τύποι πολλαπλού τόξου).

• Μετάφραση σε γεωμετρία: Για $a=2\sin(12^\circ)$ έδειξε ότι το πρόβλημα ισοδυναμεί με χορδές κανονικού 45-γώνου (διαίρεση του κύκλου σε $3\times3\times5$ ίσα τόξα).

• Συστηματική λύση:

  • Χρήση ταυτοτήτων τύπου $\sin(45\theta)=\mathrm{poly}[\sin\theta]$,

  • Διαίρεση κύκλου σε 45 ίσα τόξα,

  • Αντιστοίχιση κάθε τόξου με μία ρίζα της εξίσωσης.

Το πραγματικό επίτευγμα

Ο Viète όχι μόνο βρήκε μια λύση. Βρήκε όλες τις 23 θετικές ρίζες (από τις 45 συνολικά), εντόπισε σφάλμα στη διατύπωση του πρωτοτύπου και ανέδειξε με θαυμαστή καθαρότητα τη σύνδεση άλγεβρας–τριγωνομετρίας–γεωμετρίας. Κάθε λύση αντιστοιχούσε σε συγκεκριμένη γωνία στον κύκλο (δηλαδή σε συγκεκριμένη χορδή).

Η κληρονομιά

Το επεισόδιο υπήρξε καταλύτης για:

• Τύπους Vieta: θεμελιώδεις σχέσεις ριζών–συντελεστών πολυωνύμου.

• Αλγεβρικό συμβολισμό: συστηματική χρήση γραμμάτων (στους Βιέτ: «φωνήεντα» για αγνώστους, «σύμφωνα» για γνωστές ποσότητες).

• Τριγωνομετρικές ταυτότητες: συστηματοποίηση των τύπων πολλαπλού τόξου.

Το διαχρονικό μάθημα

Η ιστορία του Viète είναι ένα μάθημα επιστημολογίας:

«Το χάος είναι συχνά δομή που δεν έχουμε ακόμη αναγνωρίσει.»

Όπου ο Van Roomen είδε μια τεράστια αλγεβρική εξίσωση, ο Viète είδε τις χορδές ενός κύκλου να σχηματίζουν μαθηματική αρμονία σε κύκλο. Η αλλαγή οπτικής – από το αλγεβρικό στο γεωμετρικό – παραμένει θεμελιώδης στη μαθηματική σκέψη. Και ίσως το σημαντικότερο: ο Viète έδειξε πως η κομψότητα νικά τη βία. Δεν χρειάστηκε να «σπάσει» 45 ρίζες· αναγνώρισε το μοτίβο.