Το Μυστήριο των Διαδοχικών Δυνάμεων – Η Εικασία του Καταλάν και το Θεώρημα του Μιχαηλέσκου

🤯 Το Μυστήριο των Διαδοχικών Δυνάμεων

Γνωρίζατε ότι υπάρχει μόνο ένα ζευγάρι διαδοχικών φυσικών αριθμών που είναι τέλειες δυνάμεις (δηλαδή αριθμοί της μορφής \(a^p\) ή \(b^q\) με εκθέτες μεγαλύτερους από 1); Αυτό είναι το περιεχόμενο της ιστορικής Εικασίας του Καταλάν, ενός προβλήματος στη Θεωρία Αριθμών που βασάνισε τους μαθηματικούς για 158 χρόνια!

🔍 Η Εξίσωση του Καταλάν (1844)

Ο Βέλγος μαθηματικός Εζέν Σαρλ Καταλάν διατύπωσε το 1844 την ερώτηση: ποιες είναι οι ακέραιες λύσεις \((a,b,p,q>1)\) της εξίσωσης \[ a^p - b^q = 1 \, ? \] Αν ψάχνουμε για διαδοχικούς αριθμούς \(y=x+1\) που είναι τέλειες δυνάμεις, καταλήγουμε να μελετάμε \(\,x^q - y^p = 1\) ή \(\,y^p - x^q = 1\). Ο Καταλάν υπέθεσε ότι η μόνη λύση είναι: \[ 3^2 - 2^3 = 9 - 8 = 1 . \]

➡️ Συμπέρασμα: Το μοναδικό ζευγάρι διαδοχικών τελείων δυνάμεων είναι οι αριθμοί 9 και 8 (δηλαδή \(3^2\) και \(2^3\)).

🏆 Το Θεώρημα του Μιχαηλέσκου (2002)

Η εικασία παρέμεινε άλυτη μέχρι το 2002, όταν ο Ρουμάνος μαθηματικός Πρέντα Μιχαηλέσκου παρουσίασε πλήρη απόδειξη στο Πανεπιστήμιο Πάντερμπορν. Έκτοτε είναι γνωστή και ως Θεώρημα του Μιχαηλέσκου. Με απλά λόγια: αν \(\,a^p - b^q = 1\) με \(a,b,p,q > 1\), τότε κατ’ ανάγκη \[ (a,p,b,q) = (3,2,2,3). \] Η απόδειξη αποτελεί ορόσημο της Αλγεβρικής Θεωρίας Αριθμών και χρησιμοποιεί ιδέες από κυκλοτομικά σώματα και βαθιές λογαριθμικές εκτιμήσεις.