Κατά την πρώτη τους διαδρομή συναντιούνται σε σημείο που απέχει περίπου 575 μέτρα από τη πλησιέστερη όχθη.
Αφού φτάσουν στα αγκυροβόλιά τους, παραμένουν 57 λεπτά και έπειτα ξεκινούν την επιστροφή.
Στην επιστροφή συναντιούνται ξανά, αυτή τη φορά περίπου 320 μέτρα από την άλλη όχθη.
Πόσο είναι το πλάτος του ποταμού;
1 σχόλιο:
Το πλάτος του ποταμού είναι 1405 μέτρα.
ΑπάντησηΔιαγραφή• Έστω W το πλάτος του ποταμού (σε μέτρα).
• Ταχύτητες: v1 το γρηγορότερο πλοιάριο, v2 το πιο αργό, με v1>v2.
• Ορίζουμε το λόγο r=v1/v2>1.
Πρώτη συνάντηση (από την αρχή):
Αν μετράμε το μήκος από την όχθη A προς την B, το σημείο συνάντησης απέχει από την όχθη A την απόσταση:
x1=[v1/(v1+v2)]* W=[r/(r+1)]*W
Το πρόβλημα λέει ότι το σημείο είναι 575 m από την πλησιέστερη όχθη. Για v1>v2 το σημείο είναι πιο κοντά στην όχθη B, άρα η απόσταση από την πλησιέστερη όχθη (δηλ. από την B) είναι:
W−x1=[v2(v1+v2)]* W=[1/(r+1)]*W=575
Άρα:
W=575*(r+1) (1)
Επιστροφή μετά από τους χρόνους πρόσδεσης + αναμονής:
Αν υπολογίσουμε τη δεύτερη συνάντηση στην επιστροφή με την προσεκτική ανάλυση (οι χρόνοι πρόσδεσης και η αναμονή 57 min μπαίνουν στις εξισώσεις), προκύπτει — αφού απλοποιηθεί — ότι η θέση συνάντησης κατά την επιστροφή από την όχθη A μετρημένη από την A είναι:
xret=W⋅[(2v2−v1)/(v1+v2)]=W*(2−r)/(r+1)
Το πρόβλημα λέει ότι αυτή τη φορά η συνάντηση γίνεται περίπου 320 m από την άλλη όχθη, δηλαδή 320 m από την όχθη A. Επομένως:
xret=320
Χρησιμοποιώντας (1) για W έχουμε
xret=575(r+1)*(2−r)/r+1 === xret=575(2−r)=320 ===
2−r=320/575=64/115 === r=2−64/115 === r=[(115*2)-64]/115 ===
r=(230-64)/115 === r=166/115 === r= 1,44348
Τότε από (1):
W=575*(r+1)=575*[(166/115)+1)]=575*[(166+115)/115]=575*(281/115)=
=5⋅281=1.405 m
Έλεγχος σύντομος:
W/(r+1)=1.405/(1+1,44348)=1.405/2,44348=575 (πρώτο δεδομένο) ✔
W(2−r)/(r+1)=1.405*(2−1,44348)/(1+1,44348)=1.405*( 0,55652)/2,44348)=1.405* 0,22776= ≈320 (δεύτερο δεδομένο) ✔