🔷 Το Θεώρημα του Πτολεμαίου και η Σχέση του με το Θεώρημα του Euler

Ο Έλληνας μαθηματικός και αστρονόμος Κλαύδιος Πτολεμαίος (περ. 90–168 μ.Χ.) ανακάλυψε ένα θεώρημα στη Γεωμετρία που φέρει το όνομά του — το Θεώρημα του Πτολεμαίου.
Πρόκειται για ένα από τα πιο όμορφα και διαχρονικά αποτελέσματα των αρχαίων μαθηματικών.

📐 Θεώρημα του Πτολεμαίου, Μέρος I

Αν ένα τετράπλευρο $ABCD$ είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο, τότε ισχύει:

$$AB\cdot CD+AD\cdot BC=AC\cdot BD$$

---

📐 Θεώρημα του Πτολεμαίου, Μέρος II

Αν το τετράπλευρο $ABCD$ δεν μπορεί να εγγραφεί σε κύκλο, τότε:

$$AB\cdot CD+AD\cdot BC>AC\cdot BD$$

---

Το θεώρημα αυτό, ανακαλυφθέν πριν από 1.800 χρόνια, θεωρείται ακόμη και σήμερα ένα αριστούργημα της γεωμετρικής σκέψης.

Ο Leonhard Euler (1707–1783), αιώνες αργότερα, βρήκε ένα παρόμοιο αποτέλεσμα:
αν τα σημεία $A, B, C, D$ βρίσκονται σε ευθεία γραμμή, τότε:

$$AB\cdot CD+AD\cdot BC=AC\cdot BD$$

---

📘 Αν θεωρήσουμε την ευθεία ως κύκλο με άπειρη ακτίνα, τότε το θεώρημα του Euler αποτελεί ειδική περίπτωση του θεωρήματος του Πτολεμαίου.