Όταν το «Αδύνατο» Γίνεται Πραγματικότητα: Λύνοντας την εξίσωση sin(z)=2 στο Μιγαδικό Επίπεδο

Μπορεί η εξίσωση 

$$\sin (z)=2$$

να έχει λύση; Αν σκεφτείτε μόνο τους πραγματικούς αριθμούς, η απάντηση είναι όχι.

Το ημίτονο κυμαίνεται μόνο μεταξύ $-1$ και $+1$. Άρα, πώς θα μπορούσε ποτέ να γίνει ίσο με 2;

Όμως, αν επιτρέψουμε στον $z$ να είναι μιγαδικός αριθμός, τότε το «αδύνατο» αποκτά νόημα.
Και πίσω από αυτή την απλή εξίσωση κρύβεται ένας ολόκληρος κόσμος μαθηματικής ομορφιάς.

---

Από το Αδιέξοδο στο Άνοιγμα: Η Επέκταση στο Μιγαδικό Επίπεδο

Ας θέσουμε $z = x + iy$, όπου $x, y \in \mathbb{R}$.
Σύμφωνα με την ταυτότητα του Euler:

$$\sin (x+iy)=\sin x\cosh y+i\cos x\sinh y$$

Η εξίσωση $\sin(z) = 2$ μετατρέπεται λοιπόν στο σύστημα:

1. $\sin x \cosh y = 2$
   

2. $\cos x \sinh y = 0$
   

Η δεύτερη εξίσωση μάς δίνει δύο περιπτώσεις:

• είτε $\cos x = 0$,

• είτε $\sinh y = 0$.

Αν $\sinh y = 0$, τότε $y = 0$, και η πρώτη εξίσωση δίνει $\sin x = 2$, που δεν έχει λύση στο $\mathbb{R}$.
Άρα πρέπει να ισχύει $\cos x = 0$.

Αυτό συμβαίνει όταν:

$$x=\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$$

Για αυτές τις τιμές, $\sin x = \pm 1$.
Επιλέγοντας $\sin x = 1$, η πρώτη εξίσωση γίνεται:

$$\cosh y=2$$

οπότε:

$$y=\pm \mathrm{arccosh}(2)=\pm \ln (2+\sqrt{3})$$

Έτσι, οι λύσεις είναι:

$$z=\frac{\pi }{2}+2k\pi \pm i\ln (2+\sqrt{3}),k\in \mathbb{Z}$$

---

Η Ομορφιά του Μιγαδικού Επεκταμένου Κόσμου

Η εξίσωση που αρχικά φαινόταν “ανόητη” για τους πραγματικούς αριθμούς, αποκτά νόημα και συμμετρία στο μιγαδικό επίπεδο.
Εκεί όπου τα όρια της πραγματικής γραμμής παύουν να ισχύουν, το ημίτονο μεταμορφώνεται — δεν είναι πια μια κυματομορφή που πάλλεται γύρω από το μηδέν, αλλά μια σύνθετη επιφάνεια που εκτείνεται απεριόριστα στο φανταστικό άξονα.

Και το $\sin(z) = 2$ δεν είναι πια μια εξίσωση χωρίς απάντηση, αλλά ένα παράθυρο σε αυτόν τον νέο, διευρυμένο κόσμο.

Η παραπάνω διαδικασία είναι παράδειγμα της δύναμης της μιγαδικής ανάλυσης:
οι γνωστές συναρτήσεις (όπως το ημίτονο, το συνημίτονο, η εκθετική) αποκτούν επεκτάσεις στο μιγαδικό επίπεδο, οι οποίες αποκαλύπτουν βαθύτερες δομές και σχέσεις.

Αυτό που σταματά να “λειτουργεί” στο σύνολο των πραγματικών αριθμών, ξαναζωντανεύει στο ιγαδικό σύνολο.
Η περιοδικότητα, η συμμετρία και η εκθετική ανάπτυξη συνυπάρχουν, δίνοντας στα μαθηματικά έναν χαρακτήρα που είναι ταυτόχρονα ακριβής και ποιητικός.

---

Από το «Αδύνατο» στο «Κατανοητό»

Αν κάτι μας μαθαίνει αυτή η εξίσωση, είναι πως στα μαθηματικά — όπως και στη ζωή — τα όρια που νομίζουμε απόλυτα συχνά οφείλονται απλώς στο ότι δεν κοιτάμε αρκετά μακριά.
Η είσοδος στο μιγαδικό επίπεδο δεν είναι διαφυγή από την πραγματικότητα· είναι η επέκταση της λογικής της.