Tonnetz: Η Μαθηματική Δομή της Μουσικής Αρμονίας

Το Tonnetz (από τα γερμανικά “τονικό δίκτυο”) είναι ένα εννοιολογικό πλέγμα αρμονικών σχέσεων που συνδέει μαθηματικά τη δομή των συγχορδιών και των διαστημάτων στη μουσική. Δημιουργήθηκε από τον Leonhard Euler το 1739, ως τρόπος να αποτυπωθούν γεωμετρικά οι σχέσεις μεταξύ των νοτών, των τριάδων και των τονικοτήτων.

Στο Tonnetz του Euler, κάθε κορυφή αντιπροσωπεύει μια νότα, ενώ κάθε τρίγωνο αντιστοιχεί σε μια συγχορδία. Οι σχέσεις μεταξύ των νοτών (όπως πέμπτες, τρίτες κ.λπ.) εμφανίζονται ως γεωμετρικές συνδέσεις, επιτρέποντας τη μελέτη της τονικής απόστασης και της αρμονικής κίνησης.

Κατά τον 19ο αιώνα, θεωρητικοί όπως οι Oettingen και Riemann ανέπτυξαν περαιτέρω το Tonnetz, μετατρέποντάς το σε χωρική αναπαράσταση της μουσικής αρμονίας. Στον 20ό αιώνα, η νεο-Ριμαννική θεωρία (Neo-Riemannian theory) το αναβίωσε, χρησιμοποιώντας μαθηματικές έννοιες όπως ομάδες συμμετρίας και τόρους, για να περιγράψει τις σχέσεις ανάμεσα στις συγχορδίες με μεγαλύτερη ακρίβεια.

Η δύναμη του Tonnetz έγκειται στο ότι μεταφράζει τη μουσική σε γεωμετρία: οι συγχορδίες, οι μεταβάσεις και οι σχέσεις τους μπορούν να ιδωθούν ως κινήσεις πάνω σε ένα τοπολογικό πλέγμα, αποκαλύπτοντας τη μαθηματική λογική πίσω από την αρμονία.