Ακέραιες Λύσεις και Μαθηματική Συμμετρία – Εξισώσεις με x² + y² + z² = 2xyz

(α) Αν οι ακέραιοι $\mathbf{x,y,z}$ ικανοποιούν την εξίσωση

$$\mathbf{x^2+y^2+z^2 = 2xyz},$$

να δείξετε ότι $\mathbf{x=y=z=0}$.

(β) Να βρεθούν όλες οι ακέραιες λύσεις του συστήματος

$$\mathbf{w^2+x^2+y^2+z^2 = 2wxyz}.$$

(γ) Να βρεθούν όλες οι ακέραιες λύσεις της εξίσωσης

$$\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{x}}+\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{y}}=\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{z}}\mathrm{.}$$