14 Ανισότητες Τριγώνου με Διαμέσους: Προχωρημένες Ασκήσεις Γεωμετρίας [A]

Έστω τρίγωνο \(ABC\) με διαμέσους \(m_a, m_b, m_c\) και εμβαδόν \(E\). Να αποδειχθούν οι ανισότητες:

1. \[ m_a m_b + m_b m_c + m_c m_a \ge 3\sqrt{3}\,E. \]
2. \[ \frac{1}{m_a m_b} + \frac{1}{m_b m_c} + \frac{1}{m_c m_a} \le \frac{\sqrt{3}}{E}. \]
3. \[ \frac{m_a^2}{b c} + \frac{m_b^2}{c a} + \frac{m_c^2}{a b} \ge \frac{9}{4}. \]
4. \[ \frac{a^2}{m_b m_c} + \frac{b^2}{m_c m_a} + \frac{c^2}{m_a m_b} \ge 4. \]
5. \[ (m_a m_b)^2 + (m_b m_c)^2 + (m_c m_a)^2 \ge \tau^2(4R + \rho)\rho. \]
6. \[ m_a^4 + m_b^4 + m_c^4 \ge \frac{\tau^4}{3}. \]
7. \[ m_a^6 + m_b^6 + m_c^6 \ge \tau^4(\tau^2 - 12R\rho). \]
8. \[ \frac{\mu_\alpha^2 \mu_\beta^2}{\alpha \beta} + \frac{\mu_\beta^2 \mu_\gamma^2}{\beta \gamma} + \frac{\mu_\gamma^2 \mu_\alpha^2}{\gamma \alpha} \ge \frac{81}{4}\rho^2. \]
9. \[ m_a m_b m_c \le \frac{9}{2}R. \]
10. \[ ab + bc + ca \le 2R(m_a + m_b + m_c). \]
11. \[ \frac{m_a^2}{a} + \frac{m_b^2}{b} + \frac{m_c^2}{c} \ge \frac{3}{2}\tau. \]
12. \[ \frac{m_a}{a} + \frac{m_b}{b} + \frac{m_c}{c} \ge \frac{3}{2}\sqrt{3}. \]
13. \[ \frac{a}{m_a} + \frac{b}{m_b} + \frac{c}{m_c} \ge 2\sqrt{3}. \]
14. \[ \frac{b^2 + c^2}{a} + \frac{c^2 + a^2}{b} + \frac{a^2 + b^2}{c} \ge \frac{4\sqrt{3}}{3}(m_a + m_b + m_c). \]

Επεξήγηση Συμβόλων

Σύμβολο	Ονομασία	Τι εκφράζει
\(E\)	Εμβαδόν τριγώνου	Το εμβαδόν της επιφάνειας του τριγώνου \(ABC\).
\(m_a, m_b, m_c\)	Διάμεσοι	\(m_a\): από \(A\) στο μέσο της \(BC\), \(m_b\): από \(B\) στο μέσο της \(CA\), \(m_c\): από \(C\) στο μέσο της \(AB\).
\(R\)	Περιγεγραμμένη ακτίνα	Ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου (διέρχεται από τις κορυφές).
\(\rho\)	Εγγεγραμμένη ακτίνα	Ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου (εφάπτεται στις πλευρές).
\(\tau\)	Ημιπερίμετρος	\(\tau=\dfrac{a+b+c}{2}\). Χρήσιμη σε τύπους για εμβαδά και ανισότητες.

Από το βιβλίο «Ισότητες και Ανισότητες στο Τρίγωνο», του Δ. Γ. Κοντογιάννη.