A Short Differentiation Paradox — The Fallacy Behind 2 = 1

Ένα μικρό «παράδοξο» στην παραγώγιση: γιατί 2 ≠ 1

Συχνά σε βιβλία γρίφων εμφανίζεται το εξής «παράδοξο»:

5² = 5 + 5 + 5 + 5 + 5
Γενικά: x² = x + x + … + x (x φορές)

Παίρνουμε παράγωγο ως προς x και στις δύο πλευρές:

d/dx (x²) = d/dx (x + x + … + x)
2x = 1 + 1 + … + 1 = x
⇒ 2x = x ⇒ 2 = 1 (για x ≠ 0)

Πού είναι το λάθος; Γιατί όλοι ξέρουμε ότι 2 ≠ 1;

1. Η εξίσωση x² = x + … + x ισχύει μόνο για ακέραιους x

Η γραφή «x φορές» έχει νόημα μόνο όταν το x είναι φυσικός αριθμός (1, 2, 3, …). Άρα η σχέση

x² = x + x + … + x (x όροι)

δεν είναι ταυτότητα για όλα τα πραγματικά x, αλλά ισχύει μόνο σε διακριτά σημεία (x = 1,2,3,…). Η παραγώγιση όμως απαιτεί μια σχέση που ισχύει σε ολόκληρο διάστημα, όχι μόνο σε μεμονωμένα σημεία. Οπότε το βήμα «παράγω και τις δύο πλευρές» είναι ήδη άκυρο.

2. Ο αριθμός των όρων δεν είναι σταθερός — εξαρτάται από το x

Σιωπηρά, η «απόδειξη» συμπεριφέρεται σαν να έχουμε ένα άθροισμα με σταθερό αριθμό όρων:

x + x + … + x = (x όροι)

και λέει: «η παράγωγος κάθε x είναι 1, άρα το άθροισμα έχει παράγωγο x». Όμως εδώ ο αριθμός των όρων είναι ο ίδιος ο x, άρα αλλάζει όταν αλλάζει το x. Δεν μπορούμε να παραγώγίσουμε σαν να ήταν απλά σταθερό πλήθος αντιγράφων.

Η σωστή προσέγγιση είναι:

x² = x · x ⇒ d/dx (x²) = d/dx (x·x) = x·1 + 1·x = 2x

χωρίς καμία αντίφαση.

Συμπέρασμα

Το «παράδοξο» 2 = 1 γεννιέται επειδή:

• Χρησιμοποιούμε μια εξίσωση που ισχύει μόνο για ακέραιους x σαν να ίσχυε παντού.
• Αγνοούμε ότι ο αριθμός των όρων στο άθροισμα εξαρτάται από το x.

A Short “Paradox” in Differentiation: Why 2 ≠ 1

A classic calculus fallacy goes like this:

5² = 5 + 5 + 5 + 5 + 5
In general: x² = x + x + … + x (x terms)

Differentiate both sides with respect to x:

d/dx (x²) = d/dx (x + x + … + x)
2x = 1 + 1 + … + 1 = x
⇒ 2x = x ⇒ 2 = 1 (for x ≠ 0)

So where does this go wrong?

1. The identity holds only for integer x

The expression “x terms” only makes sense when x is a natural number. So

x² = x + x + … + x

is not a true identity on ℝ, only on the discrete set x = 1,2,3,…. Differentiation requires an equality that holds on an interval, not just at isolated points. So treating this as a differentiable identity is already invalid.

2. The number of terms depends on x

The fallacy pretends the sum has a fixed number of terms and says: “the derivative of each x is 1, so the derivative of the sum is x”. But here the number of terms is itself x, so it changes with x. You can’t differentiate as if you had a constant-length sum.

The correct view is simply:

x² = x·x ⇒ d/dx (x·x) = x·1 + 1·x = 2x,

with no contradiction at all.

Conclusion

This tiny “2 = 1” paradox is a neat contest-corner example:

• It abuses a discrete formula as if it were a real-variable identity.
• It ignores that the number of summed terms depends on x.

One small misuse of differentiation rules is enough to create a flashy but completely false proof.