Diameter Form Equation of a Circle – Derivation, Formula & Pitfall Explained

📐 Διάμετρος Κύκλου — Η Εξίσωση με Βάση τα Άκρα της

Αν δύο σημεία A(x₁, y₁) και B(x₂, y₂) αποτελούν τα άκρα μιας διαμέτρου, τότε οποιοδήποτε σημείο P(x, y) του κύκλου σχηματίζει ορθή γωνία στο P.

🔹 Απόδειξη του τύπου

Οι κλίσεις των ευθειών:

m_AP = (y − y₁) / (x − x₁)
m_BP = (y − y₂) / (x − x₂)

Επειδή ∠APB = 90°, ισχύει: m_AP · m_BP = −1

⇒ (y − y₁)/(x − x₁) · (y − y₂)/(x − x₂) = −1

Τελική εξίσωση κύκλου:

(x − x₁)(x − x₂) + (y − y₁)(y − y₂) = 0

---

⚠ Προσοχή — Το Σημείο Παγίδα

Ο παραπάνω τύπος δεν περιγράφει πλήρη κύκλο αλλά κύκλο με “τρύπες” στα σημεία A, B και δύο ακόμη. Αν x = x₁ ή x = x₂, ο παρονομαστής μηδενίζεται, και η εξίσωση δεν ορίζεται.

▪ Τα σημεία A και C έχουν x = x₁
▪ Τα σημεία B και D έχουν x = x₂
➡ Άρα εκεί ο τύπος “σπάει”.

Η μορφή είναι χρήσιμη, αλλά πρέπει να γνωρίζουμε τα όριά της.

📐 Circle Diameter Form — Formula, Derivation & Hidden Pitfall

If two points A(x₁, y₁) and B(x₂, y₂) are the endpoints of a diameter, then any point P(x, y) on the circle subtends a right angle at P.

🔹 Deriving the Formula

Slopes of AP and BP:

m_AP = (y − y₁) / (x − x₁)
m_BP = (y − y₂) / (x − x₂)

Right angle condition ⇒ m_AP · m_BP = −1

⇒ (y − y₁)/(x − x₁) · (y − y₂)/(x − x₂) = −1

Final circle equation:

(x − x₁)(x − x₂) + (y − y₁)(y − y₂) = 0

---

⚠ The Pitfall

This form does not give a complete circle. It omits the four points where x = x₁ or x = x₂, since the slopes become undefined.

▪ A & C share x₁
▪ B & D share x₂
➡ The formula breaks at these coordinates.

It is elegant, powerful, but incomplete — and we must use it with awareness.