A Visual Proof that 1³ + 2³ + 3³ + … + n³ = (1 + 2 + 3 + … + n)²

✨ Ένα μαγικό μαθηματικό τετράγωνο: γιατί 1³ + 2³ + 3³ + … + 9³ = 2025

Αν προσθέσουμε τους κύβους των αριθμών από το 1 έως το 9, παίρνουμε κάτι εκπληκτικό:

$$1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 + 5^3 + 6^3 + 7^3 + 8^3 + 9^3 = 2025$$

Αλλά το 2025 είναι επίσης:

$$(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9)^2 = 45^2 = 2025$$

Έτσι προκύπτει η υπέροχη ταυτότητα:

$$1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + n^3 = (1 + 2 + 3 + \cdots + n)^2$$

Η σχέση αυτή δείχνει ότι το άθροισμα των κύβων των πρώτων n φυσικών αριθμών είναι το τετράγωνο του αθροίσματος των ίδιων αριθμών.
Μια από τις πιο όμορφες συμμετρίες της αριθμητικής!

---

🔹 Μια οπτική απόδειξη

Η εικόνα παραπάνω δείχνει αυτήν την ταυτότητα με γεωμετρικό τρόπο.
Κάθε χρώμα και αριθμός αντιπροσωπεύει τον κύβο ενός αριθμού (1³, 2³, …, 9³), και όλοι μαζί “γεμίζουν” ένα μεγάλο τετράγωνο 45×45 — ακριβώς το εμβαδόν που αντιστοιχεί στο 45² = 2025.

Πρόκειται για ένα μαθηματικό μωσαϊκό που αποκαλύπτει με χρώμα και σχήμα τη δομή του τύπου.