Almost Wordless Geometry – Tangents to Two Intersecting Circles

Γεωμετρικό θεώρημα με κοινές εφαπτομένες

Δύο κύκλοι με κέντρα \(O\) και \(P\), σημειωμένοι \((o)\) και \((p)\), τέμνονται στα σημεία \(A\) και \(B\). Οι δύο κοινές εξωτερικές εφαπτόμενοι τους τέμνονται στο σημείο \(T\), με σημεία επαφής \(G, H, I, J\) πάνω στους κύκλους.

Μια ευθεία που περνά από το \(T\) τέμνει τον κύκλο \((o)\) στα σημεία \(C, E\) και τον κύκλο \((p)\) στα \(D, F\), με τα \(C, D\) να βρίσκονται στο τμήμα \([EF]\). Οι εφαπτόμενοι στους δύο κύκλους στα σημεία \(C\) και \(D\) τέμνονται στο σημείο \(S\).

Να δείξετε ότι τα σημεία \(A, B, S\) είναι συνευθειακά.

---

➤ Ιδέα λύσης

1. Η ευθεία \(AB\) είναι ο άξονας ριζών των κύκλων \((o)\) και \((p)\): όλα τα σημεία της έχουν ίση δύναμη ως προς τους δύο κύκλους.
2. Από το σχήμα μελετούμε τη θέση του \(S\). Θέλουμε να δείξουμε ότι το \(S\) έχει ίση δύναμη ως προς τους δύο κύκλους, δηλαδή ότι \(|SC|^2 - R_o^2 = |SD|^2 - R_p^2\). Αρκεί λοιπόν να αποδείξουμε ότι οι αποστάσεις του \(S\) από τους κύκλους συμπεριφέρονται συμμετρικά.
3. Χρησιμοποιούμε το γεγονός ότι τα μήκη των εφαπτομένων από ένα σημείο σε κύκλο είναι ίσα. Από το \(T\) έχουμε \(|TG| = |TI|\) και \(|TH| = |TJ|\). Από το \(S\) έχουμε αντίστοιχες ισότητες με τα σημεία επαφής στα \(C\) και \(D\).
4. Μια λεπτότερη κατασκευή (όπως την περιγράφει το σχόλιο της Sidonie) εισάγει έναν τρίτο κύκλο \((q)\) που περνά από τα \(E, F\) και το σημείο τομής της \(AB\) με το τμήμα \(FI\). Ο κύκλος αυτός είναι επιλεγμένος ώστε να είναι ταυτόχρονα εφαπτόμενος στους δύο αρχικούς κύκλους: η ομοθεσία με κέντρο \(E\) στέλνει τον \((o)\) στον \((q)\), και η ομοθεσία με κέντρο \(F\) στέλνει τον \((p)\) στον \((q)\).
5. Από τις ομοθεσίες αυτές προκύπτουν παραλληλίες όπως \(CM \parallel FL\) και \(DN \parallel EL\) (με κατάλληλα σημεία \(M,N,L\)) και τελικά ότι ορισμένα τρίγωνα είναι ισοσκελή. Αυτό οδηγεί στο συμπέρασμα ότι ο \(S\) βρίσκεται έτσι ώστε \(|SC| = |SD|\), άρα η δύναμή του ως προς τους δύο κύκλους είναι ίδια.
6. Εφόσον ο \(S\) έχει ίση δύναμη ως προς τους κύκλους \((o)\) και \((p)\), ανήκει στον άξονα ριζών τους, δηλαδή στην ευθεία \(AB\). Άρα τα σημεία \(A,B,S\) είναι συνευθειακά, όπως ζητήθηκε.

Η γοητεία του προβλήματος είναι ότι η βασική ιδέα είναι «κρυμμένη» στο σχήμα: ο άξονας ριζών και οι ομοθεσίες μεταξύ κύκλων εξηγούν την αναπάντεχη συνευθειακότητα.

Almost Wordless Geometry – Common Tangents to Two Circles

The picture comes from Arseniy Akopyan, Geometry in Figures, and is intentionally given without text: a pure image-theorem-puzzle. Here we formulate one natural problem suggested by the figure and sketch its solution.

Problem

Two circles with centres \(O\) and \(P\), denoted \((o)\) and \((p)\), intersect at points \(A\) and \(B\). Their two common external tangents meet at a point \(T\), with points of tangency \(G, H, I, J\) on the circles. A line through \(T\) meets circle \((o)\) at \(C, E\) and circle \((p)\) at \(D, F\), with \(C, D\) lying on the segment \([EF]\). The tangents to the circles at \(C\) and \(D\) intersect at a point \(S\).

Show that \(A, B, S\) are collinear.

---

➤ Solution idea (sketch)

1. The line \(AB\) is the radical axis of the two circles: every point on it has equal power with respect to \((o)\) and \((p)\).
2. To prove that \(S\) lies on \(AB\), it suffices to show that the powers of \(S\) to the two circles are equal, i.e. that its distances to the circles behave symmetrically.
3. Using the fact that tangent segments from a point to a circle are equal, we obtain several equalities of lengths from \(T\) and from \(S\). These are the raw material needed to express the power of \(S\) to each circle.
4. Following the construction described by Sidonie, we introduce a third circle \((q)\) through \(E, F\) and the intersection of line \(AB\) with segment \(FI\). This circle turns out to be tangent to both \((o)\) and \((p)\); it is obtained via homotheties with centres \(E\) and \(F\).
5. The homotheties yield parallel lines such as \(CM \parallel FL\) and \(DN \parallel EL\) (for appropriate points \(M,N,L\)), which imply that certain triangles are isosceles. From this we deduce that \(|SC| = |SD|\), and consequently that the power of \(S\) with respect to the two circles is the same.
6. Thus \(S\) lies on the radical axis of the circles \((o)\) and \((p)\), i.e. on line \(AB\). Therefore, \(A, B, S\) are collinear, as required.

The charm of the configuration is that the key idea is hidden in the picture: radical axis and circle homotheties explain the unexpected collinearity of point \(S\) with the intersection points \(A\) and \(B\).