Cyclic Inequality with Three Positive Variables: Prove the Sum Is at Least 3

Κυκλική ανισότητα με τρεις θετικούς αριθμούς

Θεωρήστε τρεις θετικούς πραγματικούς αριθμούς a, b, c. Να αποδείξετε ότι ισχύει η ανισότητα:

\[ \frac{4a + 3b + 2c}{4c + 3b + 2a} \;+\; \frac{4b + 3c + 2a}{4a + 3c + 2b} \;+\; \frac{4c + 3a + 2b}{4b + 3a + 2c} \;\ge\; 3. \]

Δηλαδή, το άθροισμα των τριών κλασμάτων, στα οποία οι συντελεστές 4, 3, 2 «περιστρέφονται» κυκλικά ανάμεσα στα a, b, c, είναι πάντα τουλάχιστον ίσο με 3.

Cyclic Inequality with Three Positive Variables

Let a, b, c be three positive real numbers. Prove that the following inequality holds:

\[ \frac{4a + 3b + 2c}{4c + 3b + 2a} \;+\; \frac{4b + 3c + 2a}{4a + 3c + 2b} \;+\; \frac{4c + 3a + 2b}{4b + 3a + 2c} \;\ge\; 3. \]

In other words, the sum of these three fractions, where the coefficients 4, 3, 2 “cycle” among a, b, c in the numerators and denominators, is always greater than or equal to 3.