Πεπερασμένα Πεδία και Πληθικότητες: Πότε Είναι Δυνατές;

Στην Άλγεβρα, ένα πεδίο είναι μία αλγεβρική δομή όπου ορίζονται οι πράξεις πρόσθεσης, αφαίρεσης, πολλαπλασιασμού και διαίρεσης (εκτός από τη διαίρεση με το μηδέν), με τρόπο ανάλογο των πραγματικών αριθμών.

Το ερώτημα που μελετάμε είναι: Πόσα στοιχεία μπορεί να έχει ένα πεπερασμένο πεδίο;

---

Θεμελιώδες Θεώρημα

Ένα πεπερασμένο πεδίο μπορεί να έχει μόνο πληθικότητα της μορφής:

|F| = pⁿ

όπου:

• p είναι πρώτος αριθμός,
• n είναι θετικός ακέραιος.

Τέτοια πεδία ονομάζονται Πεδία Galois και συμβολίζονται ως F_pⁿ.

---

Παραδείγματα Πληθικοτήτων

Πληθικότητα	Μορφή pn	Υπάρχει Πεδίο;	Παράδειγμα
2	21	✅ Ναι	F2
3	31	✅ Ναι	F3
4	22	✅ Ναι	F4
5	51	✅ Ναι	F5
6	όχι δύναμη πρώτου	❌ Όχι	—
7	71	✅ Ναι	F7
8	23	✅ Ναι	F8
9	32	✅ Ναι	F9
10	2 × 5	❌ Όχι	—

---

Γιατί δεν υπάρχει πεδίο με 6 στοιχεία;

Αν επιχειρήσουμε αριθμητική στο Z/6Z, τότε:

2 × 3 = 6 ≡ 0

όμως τα 2 και 3 δεν είναι μηδενικά στοιχεία. Δηλαδή εμφανίζονται διαιρέτες του μηδενός.

Σε κάθε πεδίο όμως ισχύει:

a · b = 0 ⇒ a = 0 ή b = 0

Άρα Z/6Z δεν μπορεί να είναι πεδίο.

---

Συμπέρασμα

Για να υπάρχει πεπερασμένο πεδίο με πληθικότητα n, ο αριθμός n πρέπει να είναι δύναμη πρώτου.

Επομένως:

• Υπάρχουν πεδία με 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, … στοιχεία
• Δεν υπάρχουν πεδία με 6, 10, 12, 14, … στοιχεία

Και για κάθε pⁿ υπάρχει ένα και μόνο ένα (έως ισομορφισμό) πεδίο.